Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 8

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 81 >> Следующая

Диаграмма 3.
На диаграмме 3 F=F-s.
Замечательным "скалярным тензорным оператором" является оператор
Казимира.
Это было доказано К. Муром.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
21
Пусть G есть полупростая группа Ли, и пусть a->D(a) - присоединенное
представление алгебры Ли g, действующее в векторном пространстве <S\
D(a)b-a/\b, [D(a), D (b)] = D(a Л b). (1.10)
Симметричная билинейная форма Киллинга - Картана
Р(а, b) = Sp [D(a), D(b)\ (1.11)
невырожденна. Следовательно, она определяет G-изморфизм /' между 9 и
дуальным пространством <3'. Это также определяет изоморфизм /' (r) / (/ -
тождественное преобразование)
$ (r) <$ <§' (r) Нош (3, <§).
Здесь хорошо известный канонический гомоморфизм / является также G-
гомоморфизмом. Тождественный оператор / на *§ является инвариантным G-
вектором е Нош(^, (S)Q. Так что
c = (i' (r) /) • /(1) (1.12)
есть инвариантный вектор в с фиксированной
нормировкой, a F(с) - оператор Казимира на Ж.
Физики и некоторые математики (см., например, Бурбаки [38]) иногда не
используют эту каноническую нормировку для с. В физической литературе в
настоящее время образы при отображении F множества алгебраически
независимых элементов центра °и (g) называются "операторами Казимира".
Для того чтобы убедить физиков в том, что каноническая точка зрения,
использованная здесь, является более предпочтительной, закончим этот
раздел очень простой теоремой, подробно доказанной в физической
литературе для частных случаев.
Теорема. Если G не имеет никакого нетривиального одномерного
представления и если Т - неинвариантный неприводимый (^-тензорный
оператор в конечномерном пространстве Ж, то VaS(!f, Sp7'(a) = 0. В самом
деле, поле (например, поле С) является тривиальным одномерным G-векторным
пространством, а "след" е Нош (9? (Ж), С)°, поскольку Т е Нош (*f, 9?
{Ж))°\ следовательно (согласно нашей гипотезе),
"Sp Т" = " Sp" • Т е= Нош (#, С)° = 0.
22
Л. МИШЕЛЬ
1.4. УНИТАРНАЯ ГРУППА U (п)
И ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК S(n)1)
Дадим краткий обзор некоторых результатов теории неприводимых
представлений (НП) групп U (л) и 5 (л). Этими результатами мы будем часто
пользоваться в наших лекциях. НП группы 5 (л) определяется разбиением
числа л на неотрицательные целые числа
..., ..., Л"*], Aj > А2 > ... >Afc> О
и V а
2л a<+• = л.
i=1
Существует более наглядное изображение разбиения называемое схемой Юнга.
Это фигура из л клеток, содержащая at строк по Ах клеток, а2 строк по Я2
клеток и т. д.
Пример разбиения
Я| ¦ 9, ccj ¦ 1,
А2 = 5, а2 = 3,
ч ТГ1 1 1

ч ч
4
4 Диагон

ч
ч.
п = 31
Я3 - 3, а3 - 2,
^ | ^ |
л = 9 +(3X5) +(2X3) + 1=31.
Схема Юнга содержит качественную информацию о НП; чем более она вытянута
в горизонтальном (вертикальном) направлении, тем более симметричны
(антисимметричны) векторы представления.
') Представления групп U (п) и S (п) подробно рассмотрены в гл. V книги
Вейля [39]. Соответствующий обзор для физиков был сделан Ициксо-ном и
Науенбергом [40].
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 23
Существуют лишь два одномерных НП группы 5 (п):
[л] = сшх:::ш полностью симметричное,
л квадратов
R
I I
[|л] = И п квадратов полностью антисимметричное.
Представления группы 5 (л) контраградиенты сами себе. С каждым НП группы
S(n) мы можем связать дополнительное представление
МС = №], где К = к+% "/> Ь, = К-ш-К-1+г (1-13)
Схема Юнга этого представления получается применением к схеме Юнга
исходного представления операции симметрии относительно диагонали.
Напомним, что тензорное произведение двух НП содержит представление [л]
(соответственно [1"]) только в том случае, когда два НП эквивалентны
(соответственно дополнительны друг другу). В этом случае оно содержит
представление [л] (соответственно [1"]) только один раз.
Мы будем также использовать для линейных унитарных представлений группы 5
(л) сокращенное обозначение [ ]х.
Назовем факториальным представлением представление, являющееся прямой
суммой эквивалентных НП.
Пусть -гильбертово пространство, а
^n) = <g) (r) ... (r) (л множителей). (1.14)
При перестановке множителей группа 5 (л) действует на Ж(п) линейно.
Соответствующее представление, которое мы обозначим [ каноническим
образом разлагается на факториаль-
ные представления. Обозначим через ^[^подпространство Ж(п\ на котором
действует факториальное представление (r)[ ]fc. Например, пространства
a^fnj и Ж{[п] ^обозначаемые также
П П \
А жа) и V э&1)) --это пространства тензоров на ранга л, полностью
антисимметричных и симметричных.
Предположим, что dim = к - конечное число. Тогда группа U (k),
действующая на Ж([), действует и на Ш(п) как
24
Л. МИШЕЛЬ
п
(r) U (k). Разлагая это линейное представление группы U (k) на
факториальные представления, получаем те же самые подпространства
Поэтому тем же самым символом [ ]л можно
обозначить соответствующее НП группы U (/г).
Суммируя, имеем
для S(n) [ ]w(rt)~ (r)х%[ ]v (1Л5)
для U(k) [ (1.15а)
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed