Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
определенных Вигнером и Рака. Поскольку эти коэффициенты весьма полезны,
им посвящена обширная литература. Обнаружено, что они обладают
неожиданными симметриями, и были выдвинуты касающиеся их недоказанные
гипотезы. Однако язык этого физического фольклора, по-видимому, не
известен математически мыслящему этнографу.
Для записи 3/-коэффициентов Вигнера физики выбирают базис в каждом из
гильбертовых пространств <$,, в котором действует представление Dj. Базис
состоит из собственных векторов подгруппы U (1) [картановской подгруппы
группы SU (2)], упорядоченных в терминах уменьшения собственного значения
р. (меняющегося от / до - / через единицу). Очевидно, что большая часть
этих свойств не зависит от выбора базиса. Рассмотрим элемент одномерного
векторного пространства
("лОЗлОЗл^Нот^,,(r)#,,, &,)°. (1.33)
Обозначим его через
(/., Ь /з). (1-34)
О
Изоморфизм С и преобразование, обратное к нему, определенные формулами
(1.31) и (1.32), преобразуют тензор (1.34) следующим образом:
(/ь L = С)0, (1.35)
(/и /2. /а) е("л(r)<Г/2(r)<Г/1)°=Нот(С, S',,(r)#/,(r)#,,)0, (1.36)
ООО
(L /2, /з) е= ("Г,,(r)^(r)#,,)^ Hom(#ilf (1.37)
О О
и т. д.
О О О
Из уравнений (1.35), (1.36) видно, что величины (jlt /2, /3)
соответственно (Л, /2, ]3) принадлежат к одномерному предста-
о о о
влению группы перестановок трех пространств, задаваемых числами /j, /2,
/3; вычисления показывают, что это представление имеет вид
cm (симметричное), если /1 + /2 + /3- четное число,
^ (антисимметричное), если /1 + /2 + /3- нечетное число.
Композиция двух гомоморфизмов
ff/,(r)#/,(r)#/, С (1.39)
является элементом Нот (^у,(r)#/,(r)^/,; ^'/1(r)<^п(r)<^/3)°, который мы
обозначим через (/х/'г/з) (/1/2/3)-
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 33
Вигнер доказал (см. [42] и уравнение (24Л8Ь) книги [12], цитированной во
введении), что
J Dil(g)(r)Di,(g)(r)Dtl(g)dn(g) = (ju )ъ /з)(Ь> Ь /з). (1.40)
J ООО
SU (2)
где dp.(g') - инвариантная мера на группе SU (2), такая, что
J Ф(?) = 1-
Отсюда с точностью до знака можно также определить, какой элемент
одномерного векторного пространства (df;(r)^(r)df3)Q
ООО
выбран физиками для величины (/',, /2, /3).
Конечно, у тензоров часть индексов может быть свернута
с о ? X о о
(что обозначается знаком X); например, (а, Ъ, х) (СРЯ) - с0~ ставной
гомоморфизм
<??а(r) 8ь (r) ° Р --> ЗД (r) С.
Обозначения Вигнера очень удобны!
Заметим, что уравнение (1.40) дает г х х х а, ; )Л
J X/, (S) ги (§) ОС/, (§) Ф (g) = O'l /2 /з) XXX =А (/1/2/3), (1.41)
SU( 2)
где ОС/-характер представления Z)y.
При больших значениях / для компонент этих тензоров в описанном выше
базисе существуют приближенные асимптотические выражения (см.
библиографию в работе [42]). Редже (его статья перепечатана в сборнике
[42]) для множества
/ |Xj Ц2 |Х3 \ ооо
компонент ... I величин 01/2/3) обнаружил группу сим-\ /1 /2 /з/
метрии~ Aut (S (3) X S (3)), состоящую из 72 элементов1).
В 1941 г. Рака и Вигнер (обе статьи перепечатаны в [42]) ввели "6/'-
символы" [численные функции шести НП группы SC/(2)]2).
Рассмотрим последовательность SU (2)-гомоморфизмов (°fa\ 1я(оЬс\ (°
0 d\(r)/
&е Iе ° ° К dff (r)<??а f >-а-° ° К
/О Ов\
-"gd(r)gc-~-<%V (1.42)
*) Ббльшая часть этих симметрий возникает естественно, см. статью
Баргмана в [42]; относительно остальных симметрий см. работу Фламанда
[44].
2) Часто их называют "recoupling coefficients". Они являются
стандартными
34 л. МИШЕЛЬ
Поскольку <$е есть пространство НП, этот SU ^-гомоморфизм должен быть
кратен тождественному оператору на <§е.
Его след определяет (с точностью до знака, который я здесь не гарантирую)
6/-символ
{::;н-'>(tm)0Xх::)- <¦.",
Вигнер показал, что для фиксированных значений a, b, d и е, lobe]
\d е /}- матРиЦа> ортогональная по индексам си/. Он
также доказал соотношение (см. книгу [12], гл. 24).
j а b с j2 \d е f]
= j J J Xa(r)%b(s)Xc(t)Xd(st~')%e(tr~')xf(rs~')dii(r)dn(s)d\i(f).
Асимптотически эта величина является быстро осциллирующей функцией
нескольких переменных, но при усреднении по некоторой области одного
аргумента, в том случае когда а, Ь, с, d, е и / представляют собой длины
сторон тетраэдра, принимает асимптотическое значение
а b с)2 .
dej\-,W"vr'.
где V - объем этого тетраэдра.
Понцано и Редже (первая статья сборника [43]) выдвинули гипотезу о точных
асимптотических формулах для величин t а b с)
\d е fJ ВН6 зависимости от того, могут или не могут быть
величины а, Ь, с, d, е и / длинами сторон тетраэдра.
Кроме того, Редже нашел (см. статью в [42]) наибольшую линейную группу,
действующую на Z-модуле, порожденном символами а/2, b/2, с/2, d/2, е/2,
//2, и имеющую величину ( а b с ]
е в качестве инварианта. Это группа S(3) X S(4), в нее
входит также группа перестановок столбцов. Очень хорошие
\ (h /2/3)
и симметричные выражения для символов (/1/2/3) и ] .
. >
. V /4 /б /б J
можно наити в статье Баргмана (последняя статья в [43]),
где в качестве пространств НП группы SU (2) были использованы гильбертовы
