Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
U(v)= J U [х) eri2™* dx = -у- j e-/2jT<v-v->* dx -'r
—oo —oo
+ 00
+ ~Y~ J e~/2n<v+v‘>* dx,
wv
циента ti = —— от произведено
ния vAx, характеризующие энергию косинусного (/) и косинус-квадратного (2) импульсов в полосе частот от 0 до v
354
но в соответствии с определением дельта-функции найдем
И-ос
6 (v — V|) = | e-;2n(v-v,)x dx\
-1-00
6 (v + Vj) — 6 [v — (— V,)] = J e-/2jl<v+v« dx.
—¦ oo
Следовательно
U (v) = 0,5?/06 (v — Vl) + 0,5(/06 (v + vx) -= 0,5t/06 (v — Vi) + 0,5i/06 (v — [—vj).
Если использовать только положительные частоты, то
О (v) = U о б (v — vx).
Таким образом, спектральная плотность простого гармонического колебания частоты выражается через дельта-функцию.
5.7. Сложный периодический процесс
Практически любой сложный периодический процесс можно представить в виде суммы гармонических колебаний:
* = + 00
V(x) = 4- 2 Ak&k2nVtX,
Z k = — 00
*2
2 f
где Ak — — t/ (x) e-ik2nv'x dx; xu x2 — пределы, в которых за-
X i
дана функция U (х); X = 2ji/p1=l/v1 — длина волны колебания, имеющего пространственную частоту vj.
Спектральная плотность функции Л k e/fc2ltv»*, представляющей собой гармоническое колебание, равна
-[-оо -{-ос
j Aktik2nxixer i2nxxdx = Ак j e^f2n^v~kvi)x dx = Л/г6 (v — /jvj).
-—¦ oo .— oo
Значит, спектральная плотность сложного периодического процесса определится следующим образом:
О (v) = ~ 2 АкЪ (v - fcvj).
z /г=—оо
При ±k имеем пару членов этой суммы
0,5Л/еб (v — | к ] V,) + 0,5Л/?6 (v + | к | Vj), а при к — 0 — один член
0,5Л 06 (v) = 0,5а06 (v).
12* 355
§ 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ СПЕКТРОМ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ОДИНОЧНОГО ИМПУЛЬСА ТОЙ ЖЕ ФОРМЫ
Амплитудный спектр периодической последовательности импульсов U (х) можно представить в виде
-«2
Ak = j U (л) e~ik2nv‘x dx.
Xt
В то же время спектральная плотность амплитуд одиночного импульса той же формы U (х) равна
-«2
0 (v) = j U (л) e~J2nvx dx.
Следовательно, при kvx = v комплексная амплитуда к-й гармоники дискретного спектра
К = (2/Я.) и (v), или Ak = \Ak\ = (2/Я) 1U (v) |.
В качестве примера найдем спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов с длительностью Ах и амплитудой U0, повторяющихся с периодом "к = 1/vj. Спектральная плотность амплитуд одиночного прямоугольного импульса (см. § 5 этой главы)
О (v) = U0 Ах sa (jxv Ах).
Комплексная амплитуда k-и гармоники дискретного спектра
Ак = -j- 0 (v) = 2U0 ¦—- sa (я&^Лдг).
Если процесс развивается во времени, то при длительности импульса т, периоде Т и частоте fx
™Ak = 2t/n~sa (л/г/т),
что совпадает с результатом, полученным прямым расчетом в § 2 этой главы.
Найдем также спектр периодической последовательности импульсов косинусной формы (рис. 283), определяемой уравнением
U (ф) = | cos ф |.
Поскольку спектральная плотность косинусного импульса с длительностью Ах и амплитудой U0 известна:
П лл __ о// _Л_ cos (2яуДх/2)
' ' 0 Дх (л/Дх)2 — (2лг)2 *
то при Uо = 1, Д* = я, v = 1/я можно найти
. . 2 соs/гя 2 (—l)fc
‘/(<Р) = -ГГ4р- = -1^Ж ’
где k = О, 1, 2, ...
| Следовательно, комплексная амплитуда k й гармоники дискретною спектра, равная
К = (2А) # (Ф).
Рис. 283. Периодическая последовательность импульсов косинусной формы (---) и ее первая гармоника (------)
при X — я определяется выражением
А _ 4 (~'>* л
к п 1 — 4&2 к'
т. е. является действительной величиной.
Спектральное разложение исходной функции U (<р) можно представить в виде
оо
V (ф) = + ? A cos (-х-Аф) ,
k -1
т. е.
со .
и <ч>)=4 + ? 4 тУйг cos <2А<р) =
= 4(> +4cos2<p------------^-cos4<p + 4-cos6<p--------)•
Первая гармоника (&=1)
Ux (ф) = (4/Зя) cos 2ф
показана на рис. 283.
§ 7. СПЕКТРЫ МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ
7.1. Вводные замечания
В простейшем случае процесс модуляции заключается в изменении одного из параметров гармонического колебания — амплитуды, частоты или фазы.
357
Пусть
U (t) = А о cos (о>0/ — фо).
У
В смодулированном колебании все три параметра А 0, со0 и \j)0 постоянны.
При модуляции они изменяются, что можно выразить путем умножения соответствующего параметра на величину
1 + mF (t),
где F (t) — модулирующая функция; т — глубини модуляции, причем обычно \F (t) | < 1; 0 -с т < 1.
В зависимости от того, какой параметр изменяется в процессе модуляции, различают амплитудную модуляцию (ЛУИ), частотную модуляцию (ЧМ) и фазовую модуляцию (ФМ). Если исходное периодическое колебание не является гармоническим, то процесс изменения основных параметров составляющих его импульсов (амплитуды, длительности, частоты повторения, фазы и т. д.) называют импульсной модуляцией.
Некоторые вопросы гармонической модуляции уже были рассмотрены в § 2 гл. 8. Однако при разработке оптико-электронного прибора спектральный анализ приходится осуществлять не только применительно к потоку излучения, модулированному растром, но и к электрическим сигналам, подвергающимся модуляции в процессе их преобразования в электронном тракте, поэтому далее спектры модулированных колебаний будут рассмотрены в более общем виде.
7.2. Спектр амплитудно-модулированного колебания
