Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
__ 4 °°
(v) — J U (*i) e~;2ltv dxt —
но
е—у2лл'лг0 J [J e-j2nvXl ?Xi
Г
U (v) — J U (Xj) e~i2nvXi dxx
U1 (v) = U (v) е,-Г*лххо f
т. e. спектр функции, смещенной относительно исходной на заданную величину х0, равен спектру исходной функции, умноженному на eri2nvx°.
Поскольку амплитудная характеристика спектральной плотности (модуль спектра)
(v) = | СУХ (v) J = | U (-v) e~f2nvXe | =
= | U (v) 11 e~}'2nvx° | = ] (J (v) | = A (v),
то при смещении функции по оси х модуль спектра остается неизменным.
4.3. Теорема смещения, или теорема
о транспозиции (переносе) спектра
Эта теорема определяет функцию, которой соответствует спектр, смещенный по шкале частот на величину v0 относительно исходного значения v.
Пусть спектр Тфункции V (л;) есть V (v), т. е.
-f-eo
U {у) — J и (л-) e~'2jiv* dx.
--00
Очевидно, что смещенный спектр
иг (v) — U (v —{— v0) = | V (x) e~/2jl (v+v«>x dx =
-00
+-
= J U (jf) е-/2ладе-М* dx.
--00
334
Обозначив
Ut (.х) = U (л:) e~~i2nVoX,
найдем
U1 (v) = U (v -{¦ v0) = j U1(x)e-i2nvxdx.
— оо
Следовательно, смещенным спектром обладает функция иг (х) = U {х) e-i2jlv°x,
т. е. функции U (х) соответствует комплексный спектр U (v), а функции иг (х) = U (х) е“/2яу«л: — смещенный спектр Ux (v) = r= U(v +v0).
4.4. Связь между произведениями функций и их спектров.
Равенство Парсеваля
Пусть две функции Ux (х) и U2 (х) имеют комплексные спектры
01 (v) и U2 (v), т. е.
-[-оо
иг (v) = J UL (х) е_ i2nvx dx;
— оо -J-oo
U2 (v) = j U2 (*) e i2nvx dx.
Так как в соответствии с обратным преобразованием Фурье
+г- -
UL (х) = J Ux (v) d2nvx dv,
—оо
то можно найти
-J-00
Ux (х) U2 (*) = U2 (л:) J Ux (v) d2nvx dv.
--00
Интегрируя левую и правую части последнего равенства по х в пределах ± оо, получим
-J-00 -J-00 -[-00
J 1!г (х) U2 (*) dx = J U2 (*) dx | Ux (v) eJ2nvx dv.
--ОО —00 —00
Изменяя порядок интегрирования в правой части, найдем
-f-00 -}-оо -|-оо
J Uх (х) U2 (x)dx = J Uг (v) dv j U2 (х) d2nvx dx,
— оо —оо —-оо
335
но внутренний интеграл представляет собой сопряженный спектр функции 1)2(х). Действительно,
U2 (v) = U2 (— v) = j U2 (х) &"2nvx dx.
--00
Следовательно,
-j- oo —J- oo
j Ul(x)U2 (x) dx j Ci (v) U2 (v) dv.
— oo -00
Последнее соотношение определяет связь между произведениями функций и их спектров. Из него, в частности, следует, что при
U1 (х) = U2 (а) = U (х),
когда
т. е.
имеем
<Л (v) = иг (v) =- и (v),
U, (v)t/|(v) = |t/(v)|s,
—ОО —J- оо
w— j [U (х)]2 dx — J 1U(v)\2dv.
— оо --00
Следовательно, интеграл в пределах ± оо от квадрата заданной функции (общая энергия рассматриваемого процесса w) равен интегралу в пределах ± оо от квадрата модуля комплексного спектра (общая энергия спектра &>).
Это соотношение, выражающее закон сохранения энергии, носит название уравнения замкнутости или равенства Парсеваля, по имени ученого, который еще в начале XIX в. рассматривал подобную формулу.
4.5. Спектр произведения.
Теорема о свертке спектров
Пусть две функции Uх (х) и U3 (я) имеют комплексные спектры U г (fx) и 03(\l)\ тогда можно записать следующее исходное равенство:
-|-оо ~|-бо
J иг (х) U3 (х) dx = J Ux (fx) U* (fx) d\i.
— оо —oo
Рассмотрим также функцию V 2(х) со спектром U а (р.), удовлетворяющую соотношению
U2 (х) = U3 (х) e'2nv\
336
или
U6 (х) — U2 (х) e~i2nvx.
Тогда в соответствии с теоремой смещения спектр функции U3 (х) равен смещенному спектру функции U2 (х), т. е.
Us (и) (|х + V),
или
Щ (ji) = U3 (— (-1) = U2 (— И + v).
Имея это в виду, можно следующим образом преобразовать левую и правую части исходного равенства.
1. Левая часть
-|-оо -{-со
J Ux (a:) U3 (х) dx = J Ux (х) U2 (х) e~i2jivx dx.
ОО -00
Полученное выражение представляет собой комплексный спектр произведения двух функций U х (л:) и U2 (я), который обозначим горизонтальной квадратной скобкой над этим произведением и волнистой чертой наверху:
----~------- +О0
Uх (*) U2 (дг) J L/j (х) U2 (х) e~i2nvx dx = j U1(x) U3 (x) dx.
--CO -00
2. Правая часть
—]— оо —|— оо
j U1([i)U3 (|LX) d\i = J Ui(\i)U2 (v —
— oo — oo
Полученное выражение представляет собой своеобразную операцию интегрирования, которую принято называть сверткой функций (|и) и U2 (|i):
Ux (fX) <g) U2 М = J fa) и2 (v - d\i.
— oo
Следовательно, можно найти
-}- oo -}- oo
j (*) U2 (*) eri‘2nvx dx — j Ux (jli) U2 (v — jn) d[i,
— oo —oo
или комплексный спектр произведения двух функций U1(x) и
V 2 (д:) равен
их (х) и2 (*) = (М') *
337
т. е. спектр произведения равен свертке спектров. Очевидно, что левая и правая части последнего равенства представляют собой комплексную функцию частоты v:
-J-OO —00
U (v) = j Ux (х) U2 (х) c~i2mx dx = f Ux (ц) U2 (v — ji) d\i.
4.6. Теорема о спектре свертки
Рассмотрим свертку U (у) двух функций 1}х (х) и U2 (х):
+°°
U (у) = иг (х) (g) U2 (х) = j Ux (х) и2 [у — х) dx.
— оо
Спектр свертки V (у) равен
-J-OO -J—ОО -{- Ow
U (v) = J U (у) t-finvy dy = J Ux (х) dx J U2 (у — х) tr~i2nvy dy.
—- о© - ОО оо
Осуществим замену переменной, вводя новую переменную z —
