Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
где
V (Л = -fj- 2 (ak cos ha^t + bk sin /гсо^), 1 k=i
12 * 2 g0 = -jr J U (/)dt; (/) cos /гоdt;
bk = U (t) sin ko\t dt.
320
Разложение U (t) может быть записано и в другой форме. Пусть
ak = Ак cos bk = Ak sin
т. e.
Л* = -f bl\ -ф* = arctg (6*/aA).
Тогда найдем
cos Ц t + bk sin &»jf = ЛЛ (cos ij^cos &*>,/ + sin % sin ku\t) — = i4*cos(bV — %)
U (0 = 4r + S A cos (W
A=1
%).
где Л0 — tf0-
Следовательно, любая сложная периодическая функция практически всегда может быть представлена в виде суммы гармонических составляющих и вполне определяется совокупностями значений Ak и
А,
Аз
а2
As
At,
L
w,
2w1 J(i)f 4w, 5w, (o
Рис. 257. Спектр амплитуд
Совокупность величин Лк Ак, носит название спектра амплитуд, а совокупность величин а0 — спектра фаз. Обычно под Т словом спектр понимают спектр амплитуд. При графическом изображении спектра принято представлять амплитуды отдельных гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины (линиями).
Спектр периодической функции состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам: 0, o)lf о>2 = 2о)х, <о3 =
— Зое»! и т. д. (рис. 257). Отсюда и название линейчатый, или дискретный, спектр. Строго говоря, дискретность спектра не является признаком периодической функции. Спектр периодической функции не только дискретный, но и гармонический, т. е. он состоит из равноотстоящих спектральных линий — гармоник, причем частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях.
Функция, обладающая дискретным спектром из произвольно расположенных по шкале частот спектральных линий, называется квазипериодической (почти-периодической). Такой функцией описываются, в частности, модулированные колебания, которые будут рассмотрены далее.
Существует еще одна весьма важная форма представления периодической функции рядом Фурье. В этом случае ряд Фурье записывается в комплексном виде.
11 М. М. Мирошников
321
Для получения соответствующего результата используем возможность выразить отдельное гармоническое колебание как сумму двух векторов:
Аь cos -%)== 0,5Л4е' (‘"х'-Ч’*) + 0,5Л*е-'
Тогда
2 Лсо.(К<-*¦)- 2 2
А=1
А=1
А=1
Можно убедиться, что — функция, четная относительно k, a фА — функция нечетная. Действительно,
но
т. е.
Ak^Val + bl\ Фа = arctg (bk/ak),
tt t*
ak = ~ j V (t) cos k(nxt dt\ bk^-^r\U(t) sin k(axt dt, ti tt
a_k = a+k\ b_k = —b+k A-k = Ф-А —' Ф+А‘
Следовательно,
A=-f-0O
s
k=l
Ak e-/ (*“>!*-%)
Ak c!
A=-l
S ^feCOS — %) =
A=I
Г *2 V + ^2°° <**i^
A=—CO fe=+l
Кроме того, так как при k — 0 = b0 — 0; = ij>0 = 0;
e/<feM-4>*)==li TO
SAk qI (kait—^k) — -^o ao
2 2 2 *
/г=0
Таким образом, можно найти
и (0 = ~т~ + S ^*COS - Фа) = 4" Ё ^ (fe?°^ ^
Z fe=l z А=—СО
=, 4-'bs”i4ile-«*e,‘"i‘.
А=—со
322
Обозначая
Д^Ле-'Ч
найдем окончательно выражение для разложения Фурье функции I) (t) в комплексном виде:
V (0 = 4-2
2 k=c—oo
Так как
Ak = ]/" tg \})/г = ?*/«/;,
tt
Ak — ЛАе-/г1^ =^ak— jbk = — j ?/ (/) cos dt
2 *“
j ~y J U (t) sin dt = -y J t/ (/) (cos &%? — j sin fcco^) dt,
11 tt
или
ti
Ak=^r\u (t) e-/*<M
f»
2.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Периодическая функция (/ (<), определяющая прямоугольные импульсы, имеет вид, представленный на рис. 258.
В промежутке от /х = 0 до t2 = т функция U (t) = U0, а в остальной части периода Т функция U (t) — 0. Таким образом, можно найти
4- = ТГ = Т-f У(0Л = 41 Uodt*=-^T,
t х X
J t/ (/) cos dt — ~y J c°s =
2t/0 sin «м т 4
= 7^ - T = 2C/o -y sa (fcojf),
где, как и ранее, обозначено
,, ч sin ^(OiT
И* 323
Далее,
bk = -|- j U (I) sin fa,hl dt = -
<1
0// T 1—cosfo^x -ZU»~T •
д* =_y^Tts =-2i/. f
_,// т sin (to,т/2) _ofJ т / Лсо,т \ .
0 7’ A’COjT/2 2 0 7 \ 2 ) ’
Г
j 1 —cos Лео,т \bft = arctg . -j—J—
Y* & Sin tfG^T
7
arctg
________2 sina (/гогт/2)
2 sin (/го)1т/2) cos (k^x/^)
кыгх
Рис. ¦ 258 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Й=оо
= arctg (tg-^-) Следовательно,
U (0 — ~y~ + ^ ^ cos (kaj — ij^) fe=i
— U —
— u0 f
ОО Н 2 2 sa I ?сй,Т \ 2 j
А’=1
= u
Так как
1+2 ^ feaj(-^L) cos^co! -----------
&=1
Л* = А%->Ъ ¦= 2U„ -i- sa (-^)
то в комплексной форме имеем
fe=+°Q fc=-|-00
У(1)=у 2j = 2j
ft= oo fc=—TOO
Если начало отсчета выбрать в центре импульса (рис. 259), то можно найти:
h = 0; т/2
ak = -jr U0 cos = о
_ 4Е/0 sin (fet^T/2) т т / feo)1x \ . .-J
Т Ь(ил г/2 2 —-«'о Т S3\ 2 /*
Л* = «*; ^ = о
324 И
U(t) = U*
со
-f- 2 ^ sa cos k(DLt
k=i k=-\-<x>
ft=—CO
Таким образом, спектр последовательности прямоугольных импульсов состоит из бесконечного числа гармонических составляющих, т. е. составляющих с частотами, кратными частоте (о3.
Огибающую спектра амплитуд можно получить, если рассматривать не только дискретные значения кь)х на оси частот, но и все текущие значения частоты со. Тогда огибающая спектра амплитуд равна
А (и) = Ак = 2(У0-f-s = 2(7„^sa(-f) = 2t/c
а(^) =
т sin (сог/2) ~Т сот/2
-I'
-Г--/ 2
иш
Она имеет нулевые значения в тех же точках, что и sin (со0т/2), т. е. при о)0т/2 = пп, или со0 = 2пп/т. Исключение составляет точка для п = 0, т. е. о)0т/2 = 0, где имеет место неопределенность типа 0/0.
