Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мирошников М.М. -> "Теоретические основы оптико-электронных приборов" -> 103

Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.

Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов — Л.: Машиностроение, 1977. — 600 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskieosnovi1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 180 >> Следующая

Аналогично дельта-функция б (х — х0), определяющая импульс в момент х = х0, обладает спектральной плотностью e~i2nvx°. Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а фазовая характеристика \J) (v) = 2п\х0. Следовательно, в этом случае происходит совпадение фаз всех гармоник и образование пика в точке х = х0.
346
Энергия единичного импульса бесконечно велика. Это следует из равенства Парсеваля, в соответствии с которым энергия
4-00
wQ— J I бх (v) | dv — oo.
— oo
Рассмотрим некоторые свойства дельта-функции. Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, найдем
оо —оо
бх (х) — б (х — jc0) — | бх (v) d2nvx dv — J &"znv (x—x0)
— 00 —oo
Полученное выражение представляет собой условное интегральное определение дельта-функции.
Учитывая симметрию интеграла Фурье, переменные х и v можно поменять местами, т. е. записать выражение для спектральной плотности, имеющей вид дельта-функции, следующим образом:
Y
б (v — v0) = J d2nx <v—v<>) dx.
—¦ oo
В силу четности дельта-функции можно записать б ( v — v0) = б (v0 — v).
Одним из основных свойств дельта-функции является так называемое фильтрующее или стробирующее свойство, которое вытекает из основного определения дельта-функции и выражается в следующем соотношении:
+ 00 +8
J б (х — х0) U (х) dx = U (х0) J б (х — х0) dx = U (х0).
— оо —8
Справедливость этого соотношения очевидна, так как по определению функция б (х — я0) равна нулю всюду, кроме точки х = = х0. Следовательно, интервал интегрирования е может быть сделан сколь угодно малым (е > 0), лишь бы он включал в себя точку х0. В этом интервале функция U (я) принимает постоянное значение U (jc0), которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной функции Ut(x) на дельта-функцию б (я — *0) позволяет приравнять интеграл произведения значению функции U (я) в точке х = х0.
Наряду с прямоугольным импульсом существует достаточно большая свобода выбора первоначальной формы импульса, из которого в пределе образуется дельта-функция.
Во всех случаях дельта-функция может рассматриваться как предел, к которому стремится импульс убывающей ширины, увеличивающейся амплитуды и единичной площади, т. е.
6 (х) = lim U0у (х),
д-> о
347
где U0 — амплитуда импульса; А — полуширина импульса, отсчитываемая на заданном уровне; у (я) — функция, описывающая форму импульса.
Существует значительное число импульсов различной формы, удовлетворяющих такому определению дельта-функции. В частности, это может быть:
а) прямоугольный импульс, уже рассмотренный выше, у которого
(1 при |х| -с А;
^ ^ (0 при | х | > А,
амплитуда U0 = 1 /2А, ширина 2А —* 0, а площадь равна единице, так как U02А = [ 1 /(2Л) ] 2Д = 1;
б) колоколообразный (гауссов) импульс
у [х) = е-*2/<2Д2),
у которого амплитуда U0 = 1/(А )/2я), ширина на уровне е~0'5 = = 0,606 равна 2А —» 0, а площадь равна единице, так как
----1 Г е л:2/(2А2) dx =—1^А/2я=1;
А /2л t±V'2n У
в) импульс вида
у (х) — sa (2ял:/А),
у которого амплитуда U0 = 2/А, ширина главного максимума 2А —» 0, а площадь равна единице, так как
_2 Г sin (2ях/А) ,___1 sin [(2л/А) х] А_______1_ _ ,
Д J 2ях/Д ах л J х ах- пп I.
5.4. Колоколообразный (гауссов) импульс
Форма этого импульса определяется выражением
U (х) = U0e~x<2' (2x$t
т. е. совпадает с графиком нормального (гауссова) закона распределения вероятностей (рис. 276). Постоянная х0 обозначает половину протяженности импульса, определяемую на уровне е-1/2 = = 0,606 от амплитуды U0 импульса, т. е. полная длительность импульса на этом уровне равна 2х0.
Для вычисления спектра
U(v) = j ^У0е ^2/С2лго) Q~j2nvx dx
318
удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени
— [х2/(2хо) + j2л\х] до квадрата суммы:
+ j2n\x + d2 \ — d‘
У2хэ
+ d
М
где d = }2л\х0/V 2.
Вводя новую переменную у = х/fl/2х0) + d, найдем
^ +°°
U (v) = У 2x0U0e-i2ltvx°)2/2 J e-v2dy.
— оо
+ 00
Так как J е~^2 dy = ]/ л, то
(/ (v) = ]/ 2ли0х0е—(2пш°)г/2.
Если ввести круговую пространственную частоту р — 2jxv и иметь в виду, что U (v) = 2лО (р), то можно найти
й(Р)
U!*L е-р'Да (1/АГо)2].

Обозначая ?/0 = V^xjy2л\ р0 -= 1 До, получим
и(р) = й0(Гр2/(2р§.
Таким образом, спектр колоколооб- Рис. 276. Колоколообр азныи им-раЗНОГО импульса представляет со- пульс и его спектр
бой по форме точно такую же колоколообразную функцию частоты. Это отражено на рис. 276, где одна и та же кривая в разном масштабе соответствует импульсу и его спектру.
Найдем полную энергию колоколообразного импульса. Используя равенство Парсеваля, имеем
—j—ОО —j—ОО +00
^0=] | V (v) рdv = j \2пО[р)\-^ = 2л j | U (p)\2dp.
Следовательно,
too = 2jt#о { e~2p2l(2pv) dp = 2лУл01ро,
+ 00
или
Wo = 2л У Л ^2зх~ = V Л-
349
Энергия, содержащаяся в полосе частот от 0 до р = 2nv, равна
wp = 4л?/о J е~ р ^р° dp.
о
Обозначим г2/2 — р2/ро, т. е. г = У2р!р0. Тогда
2
но
[е-гг/2^ = Л^-ф(г),
где Ф (г) — интеграл вероятности (табулированная величина).
Следовательно,
wp = 4пй1 Ф (г) = 4я X
х
V~2 TO V2n
Ф(г),
или
2^ 2 V2x0
wp=YnUlxoФ (-г),
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed