Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Раскрывая ее по правилу Лопиталя, найдем, что при (о= 02 {/„ (т/7) sa (сот/2) =
= 2U0т/7, что в два раза больше постоянной составляющей разложения Фурье (Л J2 — U0t/T). Постоян-
0
74
Рис. 259. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов, расположенных симметрично относительно начала отсчета
ная составляющая как бы выпадает из тех значении амплитуд спектра, которые могут быть получены по точкам огибающей.
Огибающая Л (со) имеет максимумы в точках со = «w, когда
Обозначая со,пяУт/2
sin ((отахт/2) _
ышахТ/2
х, найдем д / sin х \ х_
дх \ х
sin (шт/2) сот/2
cos х — sin х
X
— о,
т. е.
X COS X = sin X, ИЛИ X
tg*.
Корни этого трансцендентного уравнения (кроме очевидного корня * = 0) близки к значениям х —. —(2п + 1)я/2, где п. — 1, 2, 3, • • •,
325
Рис. 260. Графическое решение трансцендентного уравнения х = tg х
Рис. 261. Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов, изображенной на 2л „ 1 т
рис. 258 для случая — > Oj = —, или — С2п
иш ( z , 1
? J-r
~2 ,7> ,
Л -т 0 т т t
2 Г ,
Рис. 262. Несимметричный меандр
326
так как они соответствуют точкам пересечения прямой и тангенсоиды (рис. 260), т. е.
«шах (2П + 1) Я/Т.
Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов имеет вид, представленный на рис. 261.
Если длительность импульсов х = 772 и постоянная составляющая отсутствует (рис. 262), то_пе-,Ши
I Г I 1 т
Г, ь?
5 | 1 1 и 1 t
1 1 7
А 4
’ я
4
[J* ± ±
т 5 л 7л
, I
Рис. 263. Симметричный меандр
О ш1 2wt Jw, Aw, 5(ь, 6щ 7w, Рис. 264, Спектр амплитуд меандра
риодическая последовательность прямоугольных импульсов представляет собой прямоугольное колебание (меандр), для которого ряд Фурье, как это следует из общего выражения, имеет вид
U (t) = (sin оу + sin 3(0^ + ~ sin бсо^ +•••).
Рис. 265. Спектр амплитуд меандра при использовании отрицательных частот
При отсчете времени от середины импульса (рис. 263) соответственно найдем
U (t) = (cos со^--------cos Зсо^ cos 5(ох/ — • • • ) •
Спектр амплитуд меандра при U0 — I изображен на рис. 264. На рис. 265 тот же спектр представлен для случая, когда используются отрицательные частоты.
Следует заметить, что с увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда все более и более приближается к функции U (t), кроме точек разрыва этой функции, где образуется
327
выброс, величина которого при k —>00 равна 1,18 U0. Этит дефект сходимости, получивший в математике название «явление Гиббса» не имеет существенного значения, так как при k —>00 выбрось) становятся бесконечно узкими.
§ 3. СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
(ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ)
Предположим, что сигнал задан в виде функции времени, удовлетворяющей условиям Дирихле и абсолютно интегрируемой. Последнее требование означает, что существует интеграл
+ °°
J \U (t)\dt = N <00,
— с»
т. е. функция U (t) обращается в нуль при оо.
Для удобства рассуждений примем пока, что сигнал U (t) действует в конечном интервале
< t < 12 (рис. 266). В целях проведения гармонического анализа превратим заданную функцию в периодическую Ux (t) путем повторения ее с произвольным периодом Т > 12 — tx (рис. 267). Тогда для этой новой функции разложение в ряд Фурье имеет вид
/г=—)- оо
U\ (t) — —п--1- ifik COS k^t bk Sin k(i>xt) =
z k=\
= -4L+ 2 Л COS (?(0^-1^)==— S Akdk^t,
k=l /г=—со
причем амплитуды отдельных гармонических составляющих будут тем меньше, чем больше интервал Т:
ti
t,
ak = — J U (/) cos k(»xt dt; ti
to
bk — J U (t) sin hoxt dt;
ti *2
Ak = ~ J U (t) e~J'kb)ii dt.
11
Очевидно, что Ux(t) —» U (t) при T —* 00. Следовательно, если период T устремить к бесконечности, то в пределе получим бе-
Рис. 266. Непериодический сигнал — функция времени, заданная в конечном интервале
сконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию. Количество гармонических составляющих при этом будет бесконечно большим, так как основная частота /г = (о1/(2я) = l/Т при Т —¦> оо стремится к нулю, т. е. расстояние между спектральными линиями, равное /1, становится бесконечно малым (df), а спектр -- сплошным- Действительно,
к=-\г<х
^«=4- Ц v*“-'=
к——оо
k=-\-co
—00
При T —» uo Uy (t) U (t); fi—*df', kioу —» со = 2л/, а операция суммирования превращается в операцию интегрирования, т. е,
-f-со 1г
U (t) = j е'2я^ df J 17 (/) e~i2nft dt.
—00 tl
Обозначим внутренний интеграл некоторой функцией частоты с волнистой чертой наверху, показывающей, что при вычислении этой функции осуществлено разложение Фурье:
12
и (/) = J и (t) e-iWdt. 11
Тогда найдем
+ °°
U(t)= J U (/) е/2л^ df.
, ищ 1 1 1 1 ,
: Л1Л > >
-t -T-tр T-t. -t2 -t. 0 T ~ / т\ t, J t2 T*t, ht2 t
Рис. 267. Периодический сигнал, форма которого внутри интервала Т соответствует форме непериодического сигнала на рис. 266
Если функция U (t) задана в неограниченных пределах, то
+ 00
U(f) = J U (t) dt.
—оо
Выражение, определяющее функцию U (/), называют прямым преобразованием Фурье, a U (t) — обратным преобразованием Фурье.
