Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Так как
U (/) df = U (со) dco,
329
1
V{f) = V(a) — = U (со)= 2nU (o), то преобразования Фурье могут иметь вид:
-f-CO
U (<") = 2V | U(t)t~M dt.
т. e.
do) n / \ 2 ndf
-(- 00
U(t)= j U (со) dat do.
Этот вид преобразований иногда удобнее для использования, так как он обеспечивает более лаконичную запись показателя степени в подынтегральном выражении.
Часто допускается ошибка и коэффициент 1/(2л) вводится в обратное преобразование Фурье. Тогда преобразования имеют вид:
—[— иО
U — J U (t) dt\
—со
+ 00
и (t) = ~ J Ue№ dtо.
Функция U в этом случае определяется произведением амплитуды сигнала U (t) на время или отношением амплитуды к полосе частот, выраженной в герцах: амплитуда X время =
амплитуда „ ~ . „ ?
= ———-—- -гг-v. Следовательно, U является функцией частоты г,
полоса частот (1ц) ’ “J 1
т. е. U = U (f), и введение ее в обратном преобразовании Фурье под знак интеграла, имеющего в качестве переменной интегрирования круговую частоту со, следует считать неверным.
Функцию U (/), или U (со), называют спектральной плотностью, спектральной характеристикой или комплексным спектром Фурье функции U (t).
По аналогии с комплексным представлением ряда Фурье, в соответствии с которым периодическая функция Uх (t) равна
и л 0=4-
* ?=-оо
где Akdka^ — отдельное колебание с комплексной амплитудой Ak, обратное преобразование Фурье для непериодической функции U (t) можно записать в виде
“-[-СО -[-оо
U (t) = j U (со) е'40* d(o = ~~ J 2 U (со) dcoe^,
330
т# е. подынтегральное выражение 21) (ш) dcoe'®* можно считать отдельным колебанием с бесконечно малой комплексной ампли-
Если амплитуда сигнала измеряется в В, то спектральная плотность U (со) измеряется в В-рад"1*с, a U(f) — в В-Гц'1.
Преобразование Фурье, естественно, может быть применено не только к функции времени U (t), но и к функции U (х) пространственной координаты х. В этом случае спектр Фурье
где р = 2п!Х — круговая пространственная частота; v = ИХ —
сигнала выражена в В, а л: в см.
Таким образом, преобразования Фурье связывают между собой две функции: вещественную U (t) или U (х) и комплексную U (f) или U (v), представляющую собой ее спектр по Фурье, причем обратное преобразование позволяет выразить непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа бесконечно малых гармонических колебаний, близких по частоте.
Учитывая, что
прямое преобразование Фурье можно записать в виде суммы косинус- и синус-преобразований:
dA = 2U (ю) do.
Следовательно, спектральная плотность
или
-----00
или
— со
пространственная частота. Спектральная плотность U (v) в этом случае измеряется в В-см, a U (р) в В-рад-1-см, если амплитуда
е—/2я// _ cos 2nft — j sin 2л//,
U (/) = J U (/) dt = j U (t) cos 2nft dt
-----CO
-----CO
331
-J-oo
Вводя обозначения: a (f) = J U(t) cos[2nf (d)t—косинус-преоб-
—CO
разоьание, определяющее действительную часть спектральной
+оо
плотности, b (/) — J U (0 sin 2 nft dt — синус-преобразование, on-
•—со
ределяющее мнимую часть спектральной плотности, найдем V (f) = a (f) — jb (/) = A (j) е-/* <»,
где А (/) = |/а2 (/) -j- Ь2 (/) —амплитудная характеристика спектральной плотности: \J) (/) = arctg [b (f)!a (f)\ — фазовая характеристика спектральной плотности.
Рис. 2G8. Действительная (а) и мнимая (б) части спектра Фурье Если U (t) — четная функция, т. е. U (t) = U (—/),
то
U (/) = а ([) = 2 | U (t) cos 2reft dt.
о
Если же U (t) — нечетная функция, т. е. U (t) = —U (—t), то
со
U (/)*= — jb (/) = — 2j J U {t) sin 2nft dt.
Так как
+5
TO
#(-/)= J V йе+ММ/ = a (J) + jb(l),
•—oo
U(-f) = U* (/),
где U* (f) — комплексно-сопряженное значение спектра.
Действительная и мнимая части спектра а (/) и Ъ (/) могут также обозначаться в виде:
a (f) = Re [U (/)]; b (/) = Im [С/ (/)].
332
Действительная часть спектра — всегда четная функция (рис. 268, а), мнимая часть спектра — всегда нечетная функция (рис. 268, б). Комплексность спектра означает сдвиг отдельных его составляющих по фазе.
§ 4. СВОЙСТВА СПЕКТРОВ
Основные свойства спектров определяются рядом теорем, которые будут далее рассмотрены применительно к пространственным координатам.
4.1. Теорема о спектре суммы
Пусть функции Uу (х) и U2 (х) имеют спектры Ьх (v) и U2 (v), т. е.
-[-оо
U± (v) — j Uy (a') e~i2nvx dx\
— оо
^ +°°
U2 (v) = j U2 (x) e~ i2liVX dx.
— OO
Тогда можно найти сумму спектров:
~ ^ ~ +°°
U (v) = Uу (v) -f U2 (v) = J [UL(x)^U2(x)\e~i2nvxdx.
— оо
Так как правая часть равенства представляет собой спектр суммы двух функций, очевидно, что в силу линейности преобразования Фурье спектр суммы равен сумме спектров.
4.2. Теорема запаздывания
Эта теорема определяет спектр функции, смещенной относительно исходной на заданную величину.
Пусть функция U (х) имеет спектр
^ +°°
U (v) = J U (х) e~i2nxx dx.
•—оо
Найдем спектр Uг (v), соответствующий функции Uх (я) = = U (х — л:0). Так как по определению имеем
ОО -]-?Х>
Ux (v) = J Ux (%) e—i2nvx dx = j U (х — x0) e~i2nvx dx,
—oo —oo
333
то, произведя замену переменной интегрирования на хг — х — я0, получим
