Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
— у — х; тогда
-j-00 -f-oo
U (v) = J Ux (х) dx J U2 (z) t~t2nv <г+*> dz —
— оо —оо
+ оо оо
= j Ux (х) t~>2TCVX dx J U2 (г) e~ i2iwz dz.
— CO -00
T ак как
-}-oo -j-oo
Ux (v) = j Ux (x) e~/2jIVX dx; U2(v)— j U2 (z) eri2nvz dz,
TO
U(\) = U1 (v) U2 (v),
или
Ux (x) <g)U2 (xj = UX (v) U2 (v).
Следовательно, спектр свертки двух функций равен произведению спектров этих функций.
4.7. Теорема о спектре производной
Пусть спектр функции U (х) равен U (v). Найдем спектр Uх (v) производной от заданной функции U' (х) = •
338
В соответствии с преобразованием Фурье имеем
—j— оо —|— оо
их (v) = J U' (л:) t~i2nvxdx = J e~'2im dU (х).
— оо —оо
ь ь
Интегрируя "по частям ^ и dv = uv | ^ — ]* у du, найдем
а а
~ +°°
и1 (v) = и (л:) e~i2nvx\ — J U (х) dt i2nvx.
— оо
Так как функция U (х), представляемая интегралом Фурье, обращается в нуль при х --» ± оо, то
1 А °°
U (х) e~i2nvx 11то -* 0.
В то же время
-}- со -J- оо
J U (л:) dt~i2nvx — — j2nv J U (л:) e~i2nvx dx.
— со — оо
Следовательно,
^ +°° ^ их (v) = j2nv | U (х) e~^2nvx dx = j2nv(J (v),
— oo
т. e. спектр производной равен спектру исходной функции, умноженному на /2л;V.
4.8. Теорема о спектре интеграла
Пусть спектр функции U (я) равен U (v). Найдем спектр иг (v) интеграла от заданной функции в пределах от — оо до -\ х, т. е.
+х
| U (х) dx.
— оо
Очевидно, что
+°° / Н ¦* \
(v) — J I J U (*) dx I е -i2nvx dx =
— oo \—оо /
= J ( {
— оо \ — оо /
Интегрируя полученное выражение по частям, найдем
~ Г (V \ е—i2nvx 1+0° +Г е—i2nvx
l/l(v)= J l/Wd* •_ _ j J* U (x)dx.
-oo oo
j2nv
339
При условии, что
+<~
J U (х) dx = О,
— 00
найдем
М=цкг J и (*> e~l2mx dx = '
-00
т. е. спектр интеграла заданной функции равен ее спектру, деленному на j2nv.
§ б. РАСЧЕТ СПЕКТРОВ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ ИМПУЛЬСОВ И ПРОЦЕССОВ
5.1. Единичный скачок
Пусть изменение интересующей нас величины вдоль пространственной координаты х выражается функцией U (х), причем
1 при х>>0;
U(x>\ и М = П
v ' (О при х<0.
Функция U (х) имеет вид, представленный на рис. 269. Для этой функции, называемой единичным скачком,
Рис. 269. Единичный скачок J | U (х) | dx = оо,
в начале координат
т. е. условие абсолютной интегрируемости не удовлетворяется и преобразования Фурье не могут быть применены непосредственно. Рассмотрим функцию
U\ (*) = U (л:) е~сх,
где с = const.
Очевидно, что эта функция удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Ее спектр
-[-00 00
U1 (v) = j Ux (л:) ercxe~i2nvx dx — J e~x I'+Z2™) dx =
— oo 0
1 e-x (c+/2nv) I °° _ 1
— (c -j- /2jtv) I 0 c-\- j2nv '
Так как U (x) = Ux (х) при с —* 0, то спектр функции U (*) равен
U (v) = lim Ux (v) = \f(j2nv) = — j/(2nv).
c-»Q
Для дальнейшего рассмотрим произвольную комплексную величину
а —jb = pe—J'v.
Если а — 0, b = 1, то а — jb — —j. Но в этом случае аргумент tg ф = Ь/а = оо, т. е. ф = я/2, а модуль р = Vа2 + b2 = 1. Следовательно, можно найти, что — j= е~'я/2. Тогда
U (v) — — jf/(2jtv) — е~/я/2/(2jxv);
A (v) — l/(2n|v|); i|) (v) = Jt/2.
Соответствующие спектры амплитуд и фаз представлены на рис. 270.
6.2. Прямоугольный импульс
Рассмотрим вначале спектр прямоугольного импульса, имеющего амплитуду U0, длительность Ах и расположенного симме-
Ax
Лх
2
Ах
2
Рис. 270. Спектры амплитуд и фаз единичного скачка
Рис. 271. Прямоугольный импульс
трично относительно начала координат. Функцию V (х), описывающую такой прямоугольный импульс, можно задать следующим образом:
(?/„ при ‘х|<Ах/2; при |х|> Длс/2.
В этом случае она имеет вид, представленный на рис. 271. Вычислим ее спектр U (v). Очевидно, что]
+00 +Дх/2
U (v) = J U (х) eri2nvxdx — J {/0е~/2яи* dx =
e—j2n\x
j2nv
+Дх/2 —Дх/2
—Д*/2
е/2луДд:/2 e—j2nvAx/2
j2nv
Так как справедливо соотношение
e/Z — e~~,z
Sin 2 =
2i
341
то можно найти
tv=^42m^)=u°AxSjw2) =
'V
= UQ Ах sa (2jxv Ax/2) — UQ sa (jtv Длт),
где О0 = U0 Ах.
Относительная спектральная плотность у (v) = 0 (v)/U0 = = sa (nv Дх).
Если обозначить zx = v Ах, то относительную спектральную плотность можно представить в виде
Y (zi) = sa nzi — sin
В данном случае О (v) [7 (zx) J — всегда действительная величина, принимающая положительный или отрицательный знак
Рис. 272. Комплексный спектр прямоугольного импульса
(рис. 272). При v = 0 U (v)/L/0 = 1, так как sa (0) = 1. Функция обращается в нуль при 2jtv0 Ах!2 — пп, т. е. v0 = п!Ах, где п = -Ь1, ±2, ±3,... В области частот, где U (v) имеет положительные значения, начальные фазы всех гармоник равны нулю; в области частот, где U (v) отрицательна, имеет место скачок фаз всех гармоник на величину зт. Действительно, фазовая характеристика спектральной плотности
ф (v) = arctg [b (v)/a (v) J = arctg 0 = 0, n, 2n, Зл:,...
Эта характеристика представлена на рис. 273 совместно с амплитудной характеристикой, которая определяется модулем спектра:
A (v) = | U (v) | == | U0 Алг|| sa (2nv Ах/2) | = | ?/0||sa (nv Дх) |.
Максимальные значения спектральной плотности соответствуют частотам vmax, определяемым из уравнения
д sa (2xtvmaxA>:/2) _„
