Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мирошников М.М. -> "Теоретические основы оптико-электронных приборов" -> 104

Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.

Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов — Л.: Машиностроение, 1977. — 600 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskieosnovi1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 180 >> Следующая

причем
¦*1 = wp/w0 = Ф (г).
Интеграл вероятности табулирован. Рис. 277. График функции График функции Ф (z) приведен на
интеграла вероятности рИС 277
Для получения 90% энергии импульса необходимо иметь г= 1,65. Так как z — У 2р/р0 — У2 2п\х0, то
Ф(г)
V 2л
И
dz
2x0v = г/(я У2) — 1,65/4,43 — 0,37, или v = 0,37/(2лго), где 2х0 — протяженность импульса.
5.6. Косинусный и косинус-квадратный импульсы
г Форма косинусного импульса определяется выражением (рис. 278)
?/(*) =
U0 cos -(д^- при {ЛГI ^ Алг/2; 0 при | л: | > Ах/2.
350
Спектр этого импульса
+°°
+Дх/2
U (v) = J U (x)e~i'2nvx dx = U0 J cos e~i2nvx dx.
—Ьх/2
Так как косинус-функция четная, получим коси ну с-преобразование Фурье
Д*/2
U (v) — 2U0 J cos-^-т
Имея в виду, что
cos ах cos bx dx =
sin (а
2 (а — Ь)
/a^thtCOS 2 nvxdx. (Длг/2)
b) х , sin (а + Ь) х
"т 9
2(а + 6)
найдем &(v) = 2(7„
я cos (2з ivАж/2)
Ал: (я/Ах)2 -(2лл>)2
Спектральная плотность имеет главный максимум при v = 0. В этом случае
#0 = (2/я) U0Ах
Относительная плотность
¦ 0,635?/0Ах. спектральная
~ . ч и (v)
Uq
cos (ягДл:)
1 — (2яvДл:/я)2 ’
или, если обозначить z = я Ajcv.Jto
COS 2
<V(z) =
1
(2г/я)а ‘
Спектральная плотность равна нулю при г = (2п +1) я/2 или при v = (2п + 1) [1/(2 Ах)], для любых целых значений п, за исключением п = 0, так как в этом случае z = я/2 и выражение для у (z) дает неопределенность типа 0/0.
Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, найдем
у (я/2) = [я2 sin z/(8z)]z=Jl/2 = я/4 «=? 0,785; следовательно, для v = 1/(2 Ах)
U (v) - U0y (я/2) = 0,5?/0Ах.
Найдем боковые максимумы спектральной плотности. Вычислив и приравняв нулю производную ное уравнение
8 z
^—, получим трансцендент-
tgz =
я2 1 — (2 z/я)2
351
Графическое решение этого уравнения дает следующие координаты боковых максимумов спектральной плотности: ^ 1,89л; ^ь2,93л, а далее значения все более и более приближаются к пп, где п — целое число.
Соответствующие величины относительной спектральной плотности в боковых максимумах равны: у (1,89л) = —0,071;
у (2,93л) = +0,029; у (4л) = —0,016; у (5л) = +0,01 и т. д.
Т-УМ
+0.01 +0.029
V-
-V/l/ -5 ~2,93
-ом
-0.071
2.93 -0.071 ~0М
Рис. 279. Комплексный спектр косинусного импульса
График функции у (v) представлен на рис. 279.
Форма косинус-квадратного импульса определяется выражением (рис. 280)
Ий cos2 ~тр- *2) - при \х\<Ах/2\
0 при | л: | > Ах/2.
U(x) =
Спектр этого импульса
+оо -f Ддс/2
U (v) = J U (х) t-i2nvx dx = U0 J cos2-^- д- 2 - e -'2nv* dx.
— oo —Ax/2
Так как рассматриваемая функция — четная, найдем
+Д*/2
U (v) = U0 J cos2 ~ -д—- cos 2nvx dx.
—Дд;/2
Имея в виду, что
cos2ах cos bx = 0,5 cos ах [cos (а — b) х + cos (а + Ь) х\\ j cos а* cos «Л- 81п<я-с>*, sin (а+с)*
352
2 (а — с)
2 (а + с)
получим
и (v)
Uvhx sa (jtvA-x:)
2 1 — (vAx)2
Главный максимум спектральной плотности имеет место при v = 0. В этом случае
U0 = U0Ax/2 — 0,5С/0Ад.
Относительная спектральная плотность
у (v) = U (\>)/U0 = sa (дгДх)/[1 — (vAx)J2, или, если обозначить z = nv Ах, то
Y(z) = saz/[1 — (г/л)]2,
где sa z — sinz/z.
Спектральная плотность обращается в нуль при z = пл, или при v — п (\!Ах), для любых целых значений п, кроме п = 0 и л — 1, где имеет место неопределенность типа 0/0.
Рис. 280. Косинус-квадратный Рис. 281. Комплексный спектр косинус-квад-импульс ратного импульса
Раскрывая неопределенность, найдем
7 (0) = 1; vIH = 0,5.
Боковые максимумы спектральной плотности соответствуют значениям z (или частотам v), определяемым из соотношения
ду
(Z) д (________sin z_________\ п
Л = 0, или qz zji — (z/я)2] ) ~~ ’
дг
что дает трансцендентное уравнение
Z
tg г
1_|_2/(1_я/2)**
1^ М. М. Мпрошников
353
Графическое решение этого уравнения дает следующее значение координаты первого бокового максимума: zmax = ±2,36л, или vmax = ±2,36/Ах. Относительная спектральная плотность в первом боковом максимуме равна у (2,36л) = —0,054.
График функции у (v) ’для коси-нус-квадратного импульса приведен на рис. 281. Зависимости коэффициента = wjw9 для косинусного V) и косинус-квадратного (2) импульсов представлены на рис. 282. Значения коэффициента г) = wjw0 для косинусного (г),) и косинус-квадратного (г1п) импульсов даны в табл. 16.
5.6. Гармонические колебания
Как известно, простое гармоническое колебание, т. е. функцию
U (х) = U о соь 2лугх,
можно представить в виде суммы двух комплексных чисел (векторов):
U (х) = ~~ eflnvix _|_ е j‘2nv,X'
Спектр амплитуд такого колебания является дискретным и представляется графически вертикальным отрезком (линией) длиной U0, расположенным в точке vlf а при использовании «отрицательных» частот — двумя линиями UJ2 в точках Спектральная плотность амплитуд гармонического колебания в этих точках равна бесконечности, а при всех остальных значениях частоты она равна нулю.
Этот результат нельзя получить непосредственно с помощью прямого преобразования Фурье, так как гармоническая функция, существующая беспредельно, не обладает свойством абсолютной интегрируемости.
Однако спектральную плотность гармонического колебания можно вычислить, воспользовавшись свойствами дельта-функции Дирака. Действительно, спектральная плотность +°° +°°
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 180 >> Следующая

Реклама

Рунетки

рунетки

rt.ranetki.online

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed