Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
При амплитудной модуляции и ф0 = 0 модулированное колебание имеет вид
U (t) = А0 11 + mF (/)] cos сo0t.
Если модуляция осуществляется гармоническим сигналом (гар-моническоя модуляция), то
F (t) = cos Ш.
Следовательно,
U (t) = А о (1 + т cos Q/) cos ш0/ =
= А о (cos (?>0t + т cos со0/ cos Q/) =
= А о [cos сo0t + 0,5m cos (co0 — Q) t + 0,5m cos (cd0 -f- Q) /1.
Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное
немодулированное колебание. Его частота со0 носит название несущей частоты. Второе и третье слагаемые соответствуют новым гармоническим колебаниям, появляющимся вследствие модуляции. Частоты этих колебаний со0 Й и о>0 — Й называются боковыми частотами (верхней и нижней) или спутниками.
358
Таким образом, амплитудно-модулированное колебание имеет дискретный спектр, состоящий из трех спектральных линий (рис. 284). Ширина спектра амплитудно-модулированного колебания равна удвоенной частоте модуляции 2Q.
В случае модуляции сложным периодическим сигналом
/е=со
F (/) = J] А,( cosA’Q/;
k=i
(J(t) — Aq ^ 1 f rn 2 Ak cos kilt j cos co0/ =
A0
COS C.y -f ~ ? Ak COS (C00 — kQ) t + — X Л C0S (C00 + kQ) t
fe=I
т. e. амплитудно-модулированное колебание состоит из колебания несущей частоты и двух групп колебаний, называемых боковыми полосами.
А у
А0т
2
т An
wnSi
Ч
251
wsSl
Рис. 284. Спектр амплитудно-модулированного колебания при синусоидальной модуляции
Vn
* I \ /
V
2
\ А0т
JL
CtJ С=2 W г, C=j c=j c=j
ч1- «л, С=! с, ^ “О
э э" з л э
N-j
^ О ' сз Сэ Сз
3 3 3 S 3
Рис. 285. Спектр амплитудно-модулированного колебания при модуляции сложным периодическим сигналом
Спектр модулированного колебания изображен на рис. 285. Правая боковая полоса этого спектра воспроизводит спектр модулирующей функции, а левая представляет собой зеркальное отражение правой. В процессе модуляции происходит перенос спектра модулирующей функции — смещение его на величину со0 по шкале частот.
7.3. Спектр частотно-модулированного колебания
При частотной модуляции частота исходного гармонического колебания изменяется по закону
со = со0 [1 + mF (?)].
Если модулирующая функция представляет собой гармонический сигнал, например F (I) = cos Qt, а глубина модуляции /п = Дсо/со0, то
со = со0 + Аы cos Qt,
359
где Aw — амплитуда частотного отклонения, называемая девиацией частоты или просто девиацией.
Пусть исходное колебание имеет вид
U (t) = А о cos (со/ — \J)0) — А о cos ф;
при этом очевидно, что = со, т. е. t t
Ф = J со dt = J (со0 f- Лео cos Qt) dt = о)0t + sin fit.
о 0
Последнее равенство определяет изменение полной фазы исходного колебания за время от 0 до t, в течение которого происходит изменение частоты. Имея это в виду, найдем
Ц (t) = yl0cos^j со dt'j = A0cos (o0t + -^-sinQ/^ —
= A0 [cos co0/ cos (P sin Qt) — sin co0/ sin (P sin ffl)],
где P = Aco/Q — индекс модуляции.
В частном случае, когда индекс модуляции имеет малую величину, т. е. р С 1; cos (р sin Qt) 1; sin (Р sin Qt) р sin Q/, можно найти
U (t) л* А о (cos ca0t — р sin Qf sin co0f) =
= A0 [cos co0/ — 0,5p cos (co0 — Q) t + 0,5p cos (co0 + Q)fl.
Если сравним полученное выражение с выражением для ампли-тудно-модулированного сигнала
U (0 = А о [cos (о0< + 0,5m cos (со0 — Q) t + 0,5т cos (со0 + Q) t],
то увидим, что спектр колебания, модулированного по частоте, при малом индексе модуляции состоит, как и спектр амплитудно-модулированного колебания, из несущей частоты со0 и ДВУХ боковых частот — верхней со0 -f- Q и нижней со0 — Q. Единственное отличие заключается в сдвиге фазы колебания нижней боковой частоты на 180° (знак минус) относительно фазы при амплитудной модуляции. При этом индекс частотной модуляции р совпадает с глубиной амплитудной модуляции т. Ширина спектра частотно-модулированного колебания в этом случае равна 2Q (рис. 286).
В общем случае, т. е. при произвольном индексе модуляции, можно вычислить спектр модулированного сигнала, используя формулы из теории бесселевых функций:
/2=оо
cos (Р sin Qt) = J0 (р) + 2 2 hп (Р)cos 2nQt\
/2=1
/2=оо
sin (P sin Qt) = 2 2 ^2n+i (P)sin (2/i + 1) Й/.
n—0
360
Имея это в виду, найдем U (ОМо = J0 (Р) cos — Jx (Р) [cos (со0 — Q)t — cos (со0 -f Щ /] f J2 (Р) [cos (со0 — 2Й) t 4~ cos (со0 -J- 2fi) /] —
— «/з (P) [COS ((Ojj — 3fi) t — COS (cOq -(— ЗЙ) /] -f-
+ h (P) [cos (to0 — 4Q) I 4- cos (co0 -f- 4Q) *]—•¦• =
k — co
= J0 (p) cos oy + ^ (— l)fe Jk (p) [cos (co0 — kQ) 14
k=i
+ (— 1 )fe COS ((00 - j- ЛЙ) t].
Таким образом, результирующее колебание имеет дискретный спектр, причем в отличие от амплитудной модуляции этот спектр занимает бесконечно боль- __
шую полосу частот. \^h >-0 Р
Частота каждой гармоники отличается от не сущей на ±kQ. Амплитуда k-й гармоники Ak = J^(P) X ХЛ0, гдер—индекс частотной модуляции. Амплитуда колебания несущей частоты равна J о (Р) А 0. Следовательно, практическое ограничение спектра определяется законом изменения бесселевой функции
Jk (Р).
Л
Aj
J3A0
_Х_ .1—
251
WfdSL
Рис. 286. Амплитудный спектр частотно-модулированного колебания при малом индексе модуляции
