Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
к~—оо
Полученное выражение позволяет представить заданную непрерывную функцию U (л:) дискретными значениями, отстоящими друг от друга на расстоянии Дл; 1 /(2vm) (рис. 290).
Эти значения функции иногда называют выборками сигнала.
нечна (X), а полоса частот по-преж- 1
нему ограничена vm, то эти условия
оказываются несовместимыми, поскольку функция конечной протяженности обладает бесконечно широким спектром. Однако всегда можно определить наивысшую частоту спектра vm, за пределами которой содержится пренебрежимо малая энергия сигнала.
365
Число выборок N в этом случае
N = Х/Ах + 1,
поскольку одна «лишняя» выборка нужна на границах сигнала. Так как обычно Х/Ах 1, то
N = Х/Ах = 2vmX.
§ 9. СПЕКТРЫ ДВУМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ
9.1. Основные соотношения
Пусть двумерная вещественная функция U (х, у) удовлетворяет следующим условиям.
1. Функция U (х, у) абсолютно интегрируема по бесконечной плоскости XY, т. е. существует интеграл
~]-оо
J | U (х, у) dx dy — N < оэ.
— оо
2. Функция U (х, у) непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов в пределах любого прямоугольника конечных размеров.
3. Функция U (х, у) не имеет разрывов второго рода *.
В этом случае может быть осуществлено преобразование Фурье функции U (х, у)
4 со
U (v, (i) = | | U (х, у) e~/2jt(VA: 1 ^1) dx dy,
— со
т. е. найдена функция U (v, (л) двух независимых переменных v и fx, которые называются пространственными частотами.
Соответствующие им круговые пространс твенные частоты равны:
р = 2arv; q — 2зт[л.
Точно так же справедливо и обратное преобразование
+ 00
U (х, у) = | | U (v, (.i) e/2jt( vv+^'/) clvd\i.
Функция U (v, (л) является комплексной функцией пространственных частот и представляет собой спектральную плотность
* Условия 2 и 3 называются условиями Дирихле. Разрыв первого рода (обыкновенный разрыв, конечный разрыв или скачок) означает, что при переходе х через значение а функция U (х) «перескакивает» от одного конечного значения к другому. Само значение U (х) при х = а может быть не задано, оно может совпадать со значением функции слева U (а — 0) или справа U (а + 0) от точки разрыва. Иначе говоря, при разрыв^ первого рода существует конечный предел U (а + 0), хотя он и не равен значению функции U (а) в точке а. Если предел бесконечен или его вовсе нет, говорят о разрыве второго рода.
366
функции U (х, у). Совокупность модулей V (v, jli) называется пространственно-частотным спектром функции U (л;, у).
Если двумерная функция в плоскости XY задана в полярных координатах р, (р, причем
Р = У*2 + У2\ Ф = arctg (у/х); х = р cos ф; у = р sin ф,
то для вычисления соответствующего спектра необходимо перейти к полярным координатам также и в плоскости пространственных частот v, [I, т. е. ввести вектор пространственной частоты и и его фазовый угол 0 так, что
| х | = х = У v2 -j— (.i2; 0 — arctg (j-i/v);
v = xcosO; ji = xsin0.
Тогда, имея в виду соотношение, связывающее элементарные площадки в прямоугольных и полярных координатах,
dx dy = р dp dcp,
легко осуществить переход от спектра функции V (х, у) в прямоугольных координатах
f оо
0 (v, |ii) = J J U (xy у) e,—i2n(vx+w) dxdy
— oo
к спектру функции U (p, ф) в полярных координатах
2л со
L/ (>с, 0) = J J L/ (р, ф) е-/2m<pcos (ф—0)р dp.
о о
Если речь идет о функции трех переменных U (л:, у, t), то можно получить пару трехмерных преобразований Фурье *:
+ со
U(x, у, i) = Ш О (v, р, /) efinivx+M+ft) dv dp df\
— oo + °°
U (v, ji, /') = J J J U (x, y, t) e—/2il(v*+w'+ff) dxdydt.
Формально все полученные результаты, касающиеся свойств спектров (преобразований Фурье) однохмерных функций, обобщаются на случай двумерных и многомерных функций, т. е. для
* Когда для двойного или тройного интеграла указывается только один предел интегрирования, то этот предел относится к интегрированию по обеим переменным.
367
этих функций справедливы теоремы о спектре суммы, теорема смещения, теорема Парсеваля, теорема свертки и т. д.
Однако на некоторых специфических свойствах многомерных спектров следует остановиться более подробно.
9.2. Двумерная дельта-функция Дирака
Определение дельта-функции в двумерном пространстве представляет собой обобщение определения одномерной дельта-функции, хотя в двумерном пространстве существует большая свобода выбора первоначальной формы импульса, из которого в пределе образуется дельта-функция.
Как бы ни определялась двумерная дельта функция Дирака, она имеет следующие основные свойства:
\ _ / 00 при * = у = 0;
о (*> У)\ о при х ф 0 и у ф 0;
+е
| J 6 (л:, у) dxdy = 1 при е > 0;
—е
6 (cur, Ьу) = ~1щ-Ь(х, у)\
+СС
J J и(Б, *))Ь{х — Ъ, y—r\)dldr)-—U(х, у).
— оо
Последнее свойство, связанное с тем, что двумерная дельта-функция 6 (л; — ?, у — т]) равна нулю всюду, кроме точек х = ? и
у = г], называют фильтрующим (стробирующим) свойством дельта-
функции.
Дельта-функцию можно определить также и в пространстве с более высоким числом измерений, при этом ее свойства совершенно схожи со свойствами ее аналогов в пространстве меньшего числа измерений.
