Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мирошников М.М. -> "Теоретические основы оптико-электронных приборов" -> 107

Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.

Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов — Л.: Машиностроение, 1977. — 600 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskieosnovi1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 180 >> Следующая

Рис. 287. Вид спектров частотно-модули* рованного колебания при различных индексах модуляции
В табл. 3 были приведены значения Jп (Р) для Р < 10 и п <. 11. Так как в рассматриваемом случае n=k, то из таблицы следует что при р < 0,5 ширина спектра практически равна 2Q. При 0,5 < Р С 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковых частот, так как их относительная амплитуда равна 0,11.
361
Следовательно, в этом случае ширина спектра должна быть принята равной 4Q.
При 1 < р < 2 ширина спектра достигает (6-^-8) fi. Далее она приближается к значению 2(3 Это означает, что наибольшее значение k, с которым приходится считаться, приближается к индексу модуляции, когда k = р. Так как р = Асо/Й, то при (3 > 2 ширина спектра = 2 (Aco/Q) — 2Асо.
Вид некоторых спектров приведен на рис. 287. Важно обратить внимание на то, что при частотной модуляции, когда частота исходного колебания непрерывно изменяется в пределах заданного интервала со0 ± Асо, спектр получается не сплошным, а дискретным, причем только при очень больших значениях А о (Р > 2) ширина его равна 2Асо. При узком интервале полосы качения частоты (2Асо) ширина спектра модулированного колебания не зависит от величины интервала, а определится, как и при AM, шириной спектра модулирующей функции 2fi. Это не позволяет сократить полосу рабочих частот за счет использования частотной модуляции.
Конкретное приложение теории частотной модуляции было изложено в § 2 гл. 8.
7.4. Спектр колебания при фазовой модуляции
Пусть имеем исходное гармоническое колебание U (/) = Л Ocos («о„г ij’0).
Заменим в нем \];0 величиной
ф = i))0 [1 -f т? (01 = + Н? (0-
где т = A\[v'il' 0.
Тогда получим
U (i) = А 0 cos \co0t - \]:n — Axjj/7 (/)].
В аналогичном случае при частотной модуляции, когда
со = (о0 -f- Ao)F (t),
имели
U (t) = А 0 cos (соt — i|>„) = А{) cos (\J* —
где
t t
о) = , т. е. \|) — J oj dt = со0t -f- Aoj j F (t) dt.
о о
Следовательно,
t
U (t) — A0 cos co0/ — \|-0 -f- Aco J F (t) dt .
362
Различие между выражениями для фазовой и частотной модуляции заключается лишь в том, что при фазовой модуляции в аргумент входит модулирующая функция F (/), а при частотной модуляции — ее интеграл.
Если F (t) = соь Qt, то для фазовой модуляции имеем
U (t) = Л о COS ((О 0t - ^'о —
— Дг|) cos Qt),
а для частотной модуляции найдем
U (t) = А0 cos («у — г|;0 +
4-Aco/Q sin Qt),
т. е. полученные выражения практически совпадают.
Следовательно, при гармонических частотной и фазовой модуляциях различия В форме модули- рис 288. Фирма AM, ЧМ и ФМ си-ровапных колебаний нет. Эти раз- гналов при импульсной модуляции личия обнаруживаются при более
сложных законах модуляции, что ясно видно на рис. 288, где показана форма AM, ЧМ и ФМ сигналов при импульсной модуляции.
§ 8. ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ.
ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА О ДИСКРЕТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
При передаче реальных сигналов их спектр всегда ограничен конечным значением полосы пропускания тракта.
Непрерывные сигналы, имеющие ограниченный спектр, вполне определяются конечным числом значений на протяжении конечного интервала. Это находит отражение в теореме, носящей имя акад. В. А. Котельникова *: если функция U (х) не содержит частот, больших чем vm, то она полностью определяется путем задания ее ординат в последовательных точках, отстоящих друг от друга на расстоянии l/(2vm).
Приведем доказательство этой теоремы.
В общем случае
-и»
U (х) = j 0 (v) ei2:xxx dv,
* В теореме имеются в виду функция времени U (<) и частота fm, но мы используем ее для пространственных функций, спектр которых ограничен частотой vm-
363
где
+°°
U (v) = J U (х) er~i2nvx dx.
Так как для функции U (х) с ограниченным спектром при v> >v,„ U (v) = 0, то
+vm
I) (*) j U (v) e/23TW dv.
Поскольку пределы интегрирования ограничивают последующее рассмотрение интервалом частот от — vrn до +vm, нам безразлично, как ведет себя функция U (v) за пределами этого интервала. Поэтому предположим, что она периодически повторяется с периодом 2vm (рис. 289). Тогда эту периодическую функцию можно представить рядом Фурье
Рис. 289. Периодическое повторение заданной функции (к доказательству теоремы Котельникова)
?/(v) =
/i=—{—со 2п
2
&V»
k=-
где
А___________
k (2v,
Vm — . _2Я kv
j J U (v) e (2v,n) dv.
Так как при x = —k/(2vm)
U
TO
(2 vm)
u
Следовательно,
1 M ? v
364
k= -f-oo
—с
2nk
2v
rn e/2nv*dv;
изменяя порядок интегрирования и суммирования, найдем
/z=-J-oo +vm
(/(*) = ‘ ? j e'^+W'W)*,.
/z=— oo — V„
Входящий в полученное выражение интеграл
+vm
J^[x+k/{;2vm)]dv= е
I
/2nvm[^+ft/(2vm)j __ e—/2Jtvm[A:+fe/(2vm) ]
/2a t [x -J- k/(2vm)]
Умножая и деля значение интеграла на 2v,?l, получим
+v„
j е/2эте[лг| fc/(2vm)] = 2vmsa[2nvm^ -I- “2~)] •
Тогда
fe=-+c
^ (*) = 5] sa [2nVfn (x + “2^7 )]
? У ( ^)SS\2n''m (* 2^T)]
k -—c
Обозначим
Дл: — l/(2vWJ)
и, обратив внимание на тот факт, что /е принимает все значения от
- оо до |-оо, т. е. знаки при k можно поменять местами, найдем
fc=-]-oo
U (х) = ^ U (k\x) sa [2л v,„ (л*—/еДл:)].
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed