Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мирошников М.М. -> "Теоретические основы оптико-электронных приборов" -> 109

Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.

Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов — Л.: Машиностроение, 1977. — 600 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskieosnovi1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 180 >> Следующая

9.3. Редукция преобразования Фурье к меньшему числу переменных
Пользуясь свойствами дельта-функции, можно осуществлять редукцию преобразования Фурье к меньшему числу переменных.
Предположим, например, что функция U (х, у, t) не зависит от t, но записана в трехмерной форме. Тогда
+ °°
U (v, |i, f) = J J J U (х, у) е-рят+м+т dx dy dt =
— оо
-Joo —j— oo
= 11 U(*, y)e~ fi*nvx+\it/) dxdy | e~i2nftdt.
¦—oo —oo
368
Последний интеграл представляет собой дельта-функцию
+°°
6 if)— J e~i2nfldt,
— оо
т. е.
# (v> V,f) = & (v, R) б (/)
Следовательно, исходная функция
4 оо
U (х, у, t) — J J J U (v, |и, f)ei2n(vx+M+ft) dvdyidf =
— оо
-|- со
J J J С/ (v, \i) b (f) ei2nivx+M+fl) dv d\i df = U (x, y).
9.4. Спектр сечения двумерной функции
Пусть имеется вещественная функция двух переменных (У (х, у). Совершим над нею преобразование Фурье по координате х:
л ^
U (v, у) = | U (х, у) i2nvx dx.
— оо
Знак Д над одним из аргументов указывает, что преобразование Фурье по этому аргументу еще не проведено. Таким образом, мы получили спектр значений функции U (л;, у) при заданном у, или как бы спектр сечения функции U (х, у) для данного у.
Если далее найти преобразование Фурье функции U (v, у), рассматривая ее как функцию аргумента г/, то найдем
+°° л
U (v, fx) = J U (v, y)erfin№ dy,
— оо
или
+ 00
U (v, fi) = J J U (x, y) e—fin{vx+uy) dx dy,
•—oo
а это уже двумерный спектр функции в целом и разбить его на отдельные сечения в общем случае нельзя.
9.5. Двумерные спектры функций с разделяющимися переменными. Преобразование Фурье—Бесселя, или преобразование Ганкеля нулевого порядка
Функция двух независимых переменных называется функцией с разделяющимися переменными в определенной системе координат, если ее можно записать в виде произведения двух функций,
369
каждая из которых зависит только от одной независимой переменной. Иными словами, U (х, у) есть функция с разделяющимися переменными в декартовых прямоугольных координатах, если
U (х, у) = U (х) U (Iу).
В цилиндрических координатах U (р, ф) также является функцией с разделяющимися переменными, если
и (р, ф) = и (р) U (ф).
Функции с разделяющимися переменными часто удобнее для использования, чем более общие функции, так как их свойства поз-
Рис. 291. Спектр функции с разделяющимися переменными в прямоугольной системе координат: о — функция; б — ее
спектр
воляют свести сложные двумерные действия к более простым одномерным. Например, двумерный спектр функции с разделяющимися переменными в прямоугольной системе координат можно представить в виде произведения одномерных спектров. Действительно, если U (х, у) = U (х) V (у), то +°°
U (v, [i) = | J U (л-, у) е~/2n(v*+Mi/) dx dy ==
--00
+ 00 +оо
= | U (x) o~i2nxx dx J (У (y) dy = U (v) U ([i).
OO DO
Вычислим для примера спектр функции U (х, у), которая равна UQ = const на интервалах по оси х от —1/2 до Z/2 и по оси у от —т!2 до -f-m/2, а за пределами этих интервалов равна нулю (рис. 291).
370
Очевидно, что
-|-оо
U (v, }i) = J J U (л:, у) е~'2я ^Vx+^y)dx dy —
— со
+1/2 +т/2
— U0 | Q—j^nvx dx J ?—рпцу dy = U0 sa ( 2jiv ^ ) sa (^2тг|,1 j , где U0 = U()ml.
При разделении переменных в цилиндрической системе координат вычисление спектра осуществить сложнее, однако и в этом случае обычно двумерные операции можно свести к ряду одномерных. Наиболее просто это делается для функций, обладающих осевой симметрией. Значения такой функции определяются только радиус-вектором, т. е.
U (р, ф) = U (р).
Следовательно, можно найти
2л оо
U (х, 0) — J dip J U (р, ф) е‘~/2я>ф cos 10)рф ~
о о
оо 2л
2я f U(p)pdp-^ j e-/2l™f,cos (ф-°Ыф. о о
Внутренний интеграл представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка
2 я
Jv (2яхр) — J е-/'2лк<*cos dt|.
(i
Таким образом, искомый спектр становится функцией только пространственной частоты х, не зависящей от фазового угла 0:
со
U (х) = 2л [ U (р) J0 (2лхр) р dp.
о
Этот особый вид двумерного преобразования Фурье для функций, обладающих осевой симметрией, встречается достаточно часто и носит специальное название преобразования Фурье—Бесселя или преобразования Ганкеля нулевого порядка.
Аналогичным образом можно найти обратное преобразование, если функция U (х) обладает осевой симметрией:
со
U (р) = 2л J U (х) У0 (2лхр) х dx.
о
371
Вычислим для примера спектр функции U (р, ср), которая равна Uо = const внутри круга радиусом р0, а за пределами этого круга равна нулю (рис. 292).
Очевидно, что в этом случае
Ро
U (х) = 2nU0 J J0 (2 л хр) р dp.
о
Используем формулу приведения бесселевых функций
"i(2) =Л-1(г)-4
dz
б; t &(Х.в)^В(Г)
Vorij W ,, 7 2J,(Zo) \Лщ ~z~ \\ ' c \y_ _ z0=Znpg3e
\ y//X>x № \ 112 \ A .
У \\ items' f M
Рис. 292. Спектр функции с осевой симметрией: а — функция; б — ее спектр
которую можно представить в виде
dJk (z) I (z) __ j /g\
dz » *~i ' '
или
При k = 1 найдем
zJa(z) =
d [zJx (2)]
dz
Обозначив z = 2лхр, получим
Ро го
2nU0 j /0 (2лхр) р dp = -2^2- J Jo (z) z dz
2лиг 1 ^ ”
UqzqJi (zo)
2лх2
372
Следовательно,
Po
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed