Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
U (х) = 2nU0 J J0 (2лхр) p dp — t/onp0 ¦ о
где г0 = 2яхр0.
§ 10. ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (ПЧХ) ОБЬЕКТОВ НАБЛЮДЕНИЯ
10.1. Основные соотношения
Пусть имеется излучающий объект, характеризующийся распределением яркости В (х, у). Переменные х и у могут представлять собой координаты некоторой точки в системе координат, связанной с объектом (X, У), однако более удобно задавать распределение яркости по координатам х и у в плоскости изображения, создаваемого оптической системой (сопряженной плоскости). При большом расстоянии до объекта плоскость изображения совпадает с задней фокальной плоскостью оптической системы (рис. 293), так что имеют место следующие соотношения:
x = f la'~fV; y = ff tgP'«/#P'.
где /' — заднее фокусное расстояние оптической системы.
В воздухе a' =а; Р' = р. В среде с показателем преломления п (иммерсионный объектив)а' — a/я; р' = рIn.
Следовательно, В общем случае Рис. 293. Схема наблюдения
г х Г У
х=^~п 17 * У = 7Р
Заметим также, что яркость выражена в эффективных величинах, т. е.
В (х, у) = 1ВЭ (х, у),
где
I = j ф (X) k (X) ха (X) т0 (X) dl j ф (X) dk; о I о
оо
Вэ (-*¦> У) - \ Вэк (X, у) dl-,
373
ср (к), k (X) — относительные спектральные характеристики излучения источника и чувствительности приемника, ти (^), т0 — спектральные коэффициенты пропускания атмосферы и оптической системы; В)К (х, у) — спектральная плотность энергетической яркости объекта в точке с координатами х, у.
Двумерный спектр функции В (х, у) равен
+ оо
В (v, |i) — J| В (а:, у) е~/2я <v*+w/) dxdy.
— оо
Спектр В (v, р) является комплексной функцией пространственных частот. Совокупность модулей этой функции называется пространственно-частотной характеристикой (ПЧХ) излучения объекта наблюдения. Двумерный спектр измеряется в Вт-см_2-ср_1 X X см2 — Вт-ср-1.
Рассмотренные в § 9 этой главы свойства двумерных спектров позволяют легко получить выражения для спектров некоторых моделей малоразмерных источников излучения (имеются в виду объекты, детали которых не разрешаются оптической системой прибора).
10.2. ПЧХ точечного источника
Математической моделью точечного источника излучения является двумерная дельта-функция Дирака, т. е.
В (х, у) /6 (х — х0, у — у
где / — сила света источника в данном направлении, измеряемая в эффективных величинах Вт-ср-1; б (л: — xQ, у — у„) — функция Дирака в точке (г — х{), у у()), измеряемая в см-2.
Действительно, пусть, например, двумерная дельта-функция является пределом произведения двух колоколообразных импульсов, имеющих протяженность Д —» 0, т. е.
6 (х, у) = lim (Убе~ ^2)/(2л‘) д->о
Так как ul = 1/(2л Д2), то двумерная дельта-функция измеряется в см-2, если Д выражена в см.
Спектр точечного источника (Вт-ср1)
B(v, |i) = /е—/2я (v*°+w/o),
а ПЧХ — модуль спектра — является постоянной величиной, равной /.
374
10.3. ПЧХ объекта прямоугольной формы
Для объекта прямоугольник фирмы (рис. 291) при ?/0 = Ва в пределах от - 7/2 до -\-И2 по оси х и от - т/2 до -\-т!2 по оси у найдем двумерный спектр (Вт-ср-1)
В (v, |ii) = Bt/nl sa ^2nv ^ sa ^2jt|i
и
ПЧХ = | В (v, fi) | = B0ml | sa ^2nv j sa ^2л|л-^-^ |.
10.4. ПЧХ круглого объекта равномерной яркости
Для круглого объекта равномерной яркости (рис. 292) при U0 — В0 внутри круга радиусом р0 найдем спектральную плотность (Вт-ср-1)
В(х) = В0щ>1?±?^
И
ПЧХ = |В(х)| = Во1ф^2л1,
где z„ = 2яхр„.
10.5. ПЧХ круглого объекта неравномерной яркости
Для круглого объекта с неравномерно распределенной яркостью вид спектра существенно зависит от закона распределения яркости, так как в соответствии с преобразованием Ганкеля спектр
со
В (к) = 2л J В (р) /0 (2яхр) р dp.
о
Если яркость В (р) распределена по гауссоиде, т. е.
В (р) — В0е~р2/(2ро),
то можно найти
со
В (к) = 2я?0 J е~р2/(2ро) J0 (2лкр) pdp.
о
Входящий в полученное выражение интеграл сводится к интегралу Вебера
оо
J е.-аЧ ‘J4 (Ьх) х"+1 dx.
о
375
Для вычисления этого интеграла заменим функцию Бесселя степенным рядом и проинтегрируем почленно. Тогда получим
j - j t- ? -Ь| r'V-iT^r ~
-ЕетеЬп,(4Г”]^«*'л-
к—о о
Ъ \n+2k 1
у_______<-¦>" ( L__________!____fe-'H-Mi
Zj (SIГ(4 + л+ 1) \ 2 ) 2а».+2*+2 Jc 1
/г=0
ьп v _ 6" е_„/(4о.,
г?
(2а2)”^1 (2a2)n+1
Для П = О
00
1 e-fl2^V0 (6х) xdx = e-W«2).
о
Следовательно,
В (х) = 2яЗДе~ (2лкРо)2/2,
т. е. спектр имеет вид исходной функции, что характерно для гаус-соиды.
10.6. ПЧХ объекта вытянутой формы
Для объекта вытянутой формы с плавно меняющимся по площади распределением яркости, описываемым, например, двумерной гауссоидой
В (х,
спектр следует вычислять по общей формуле
-j—оо
В (v, ju) = J J В(х, у) е~/2я (V*+Mi/) dxdy,
-Ou
т. е.
В (у, ц) = В0 \ e-iwx-x2l^dx\
-00 ------------------00
Полученное произведение однотипных интегралов можно вычислить, пользуясь табличным интегралом
Так как
0=1/(2(»5) = 1/(2р|); b = jnv = jn\i\ с — О,
то
В (v, ft) = 2В0лр1р2е— I(2лvPi)г + (2л^р*)2]/2}
или в цилиндрической системе координат
В (х, 0) = В0яр2><2 sin 2?е~ (2якр1-2(6)/\
где
Pi,2 = Pi + р!’> g — arctg (P^/Pi),
