Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ilgjiv = 0. Для этого следует найти lfo** и сгруппировать их в виде
d®“= — c)1JlV|a©f*A6)v. (14.32)
Тем самым мы определим 24 «коммутационных коэффициента»
CjlV0c. Эти величины входят в выражение
2
®HV — ~2’JSIiva *f" Cjiav — cvan) Ю®>
которое позволяет найти шесть <0% (упражнение 14.12).
(14.33)
По известным Wjiv МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ формы кривизны М\ 8) нахождение
(опять только шесть форм в случае четырех измерений, поскольку M^v = — Mv*) с помощью формулы
9i\= dfii^v+«^aAwV (14.34)
Такое представление позволяет при помощи схемы идентификации
ш= Rvmv^(14.35)
выписать отдельные компоненты тензора кривизны.
Вычисление тензора Эйнштейна Glxv сводится к просмотру выражений для MlxvC целью отыскания компонент RlivaP, которые используются в формулах (14.7).
2~форм
0/:и
кривизны хП v
4) нахождение компоиеит тензоров кривизны
14.5. Внешняя производная произведения форм упражнения
Докажите соотношение (14.13а) с помощью рекурсивной процедуры, восходящей от форм низкого порядка к формам более высокого порядка. [Указания. Напомним, что, согласно выражению (4.27), внешняя производная от /?-формы]
определяется формулой
da = -a^' dz^A IlziuA... Ad*1*».
дх^°
Применение этой формулы к произведению аДР Двух 1-форм дает x)A(P^^)] = dU йх* /\йхх Д dart* =
d («Л Р) = d [(а, йх*) Л (Pu dll*)] = d [(OjJJ11) (da*A *^)] =
9 (а^Ри)
= (йх* A dix) APn dll*—(«х, da*) A (dz*4 A ^li) =
дх*
дхк~ ..........\Йл.Н
= (da) A Р—«А dP-
Распространите эти рассуждения на случай форм более высокого порядка.]
2
432 4' Вычисление кривизны
упражнения 14.6. Соотношение между внешней производной
и коммутатором
Докажите справедливость формулы (14.21), показав, что а) правая часть является линейной алгебраической функцией и и линейной алгебраической функцией V и что б) данное соотношение выполняется, когда ииу суть координатные базисные векторы: и = д!дхк, V = д/дх1.
14.7. Вывод формулы Кристоффеля из форм связности
Покажите в координатной системе отсчета ©•* = Jr11, что для выполнения соотношения (14.31а) должно быть P1Vp = Гцэ®. Установив эту симметрию, покажите также, что из соотношения (14.316) можно получить выражение для OgvivIdif1, которое, будучи разрешено, приводит к формуле Кристоффэля
14.8. Связь между формулой Римана — Кристоффеля для кривизны и формами кривизны
Подставьте <о% = Г'Чх.гія*' в уравнение (14.18) и из полученного результата с помощью соотношения (14.25) выведите классическую формулу (3) дополнения 14.2 для компонент
14.9. Обзор картановых структурных уравнений с помощью матричных обозначений
Пусть е из (B1, . . ., е„) — матрица из одной строки, элементами которой являются базисные векторы, и пусть ю — столбец из базисных 1-форм ш**. Аналогично, пусть Q = || || и R = || R^4 ||—
квадратные матрицы, элементами которых являются 1-формы и 2-, формы. Во введенной таким образом компактной системе обозначений соотношения dOp, = eve>vu и = вцЮ1* принимают соответственно вид
а. Из соотношений (14.37) и условия «1*9* = 0 выведите уравнение (14.31а) в форме
[Решение: d2^ = deA<fl-f ed<»=»e(QA<o+d<fl).]
б. Вычислите величину dse для объяснения определения (14.18), принимающего теперь вид
(14.36)
Ae=eQ и d Hi = ею.
(14.37)
0 = dco-f ОД to.
(14.38)
Я я dQ Q ДО.
(14.39)
§ 14.6. Вычисление кривизны 433
В. Из условия d2(0 = 0 выведите соотношение й Д (I) = O1 а затем расшифруйте его и получите условие антисимметрии
^%Pv] = °-
г. Найдите AM, воспользовавшись соотношением (14.39), и установите связь полученного результата с тождеством Бианки
v] — О-
д. Пусть V = {у1*} — столбец функций; тогда V = ev = OlllHli — векторное поле. Найдите в компактных обозначениях dv и dav, показав при этом, что d2V = eMv (что совпадает с соотношением 14.17).
14.10. Правила преобразования форм связности в компактных обозначениях
Воспользовавшись обозначениями предыдущего упражнения, опишите переход к новой системе отсчета соотношением е' = еА вместо вu' = и аналогично для базисных 1-форм со' =
= Л_,(о. Покажите, что AP эеш = е'со'. Подставив е' = еА в Ar' = е'И', получите закон преобразования
Q' = A-1QA + A-1AA. (14.40)
Перепишите его в подробных обозначениях в координатной системе отсчета, где Avv,' = OxvIdxv-', в виде соотношения TliVp' = (?).
14.11. Пространство является плоским,
если кривизна обращается в нуль (см. § 11.5)
Если существуют такие координаты, в которых все прямые линии {d}x4d№ = 0) суть геодезические, то мы говорим, что пространство является плоским. В этом случае все Г^р и обращаются
в нуль, что очевидным образом следует из уравнения (14.8) и уравнения (3) в дополнении 14.2. Покажите обратное, т. е. что из условия M — 0 вытекает существование таких координат. Воспользуйтесь результатами предыдущего упражнения и найдите дифференциальные уравнения, которым должно удовлетворять преобразование А к базису е\ в котором Q' = 0. Каковы условия полной интегрируемости этих уравнений? [Отметим, что Afк — Fk (х, /) полностью интегрируемы, если из исходных уравнений следует d2/K = 0.] Почему базисные формы ю14'в этой новой системе отсчета представляют собой дифференциалы координат ю*1' = Axv-'!
