Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
УПРАЖНЕНИЯ
ФРИДМАНА)
(дополнение 27.1) описывает пространство-время, в котором каждая гиперповерхность постоянного значения t представляет собой трехмерную гиперсферу, собственная длина большой окружности которой равна 2па (t). В этом пространстве-
2
438 14. Вычисление кривизны
времени легко найти ортонормированный базис:
ds2= -(©?)2+(©*)2 + (®§)2 + (®*)2,
где
©х = adx-(о® =asinX d0,
(I)
©* = a sin xsinGd^
А. Вычисление связности
Поскольку dgnv= diinv = 0, то из уравнения (14.316) следует
®|lv“ ---®V|l!
(2)
таким образом, нужно найти лишь шесть 1-форм Wllv. Обратимся ко второму основному уравнению (14.31а). Мы должны угадать решение (поскольку это часто сделать быстрее, чем применить систематический метод) уравнений OsdtDii + -{- (1)%Лo)v, в которых (ov, а значит, и do*1, известны, a (Oiiv неизвестны. Известно, что решение (0% единственно; поэтому если мы угадаем ответ, то этот ответ будет заведомо правильным.
Начнем с простейшего из этих уравнений. Из © = At имеем
d(D * = — «о* Д = О (здесь принято во внимание, что © ‘ ^ = — (Ojj-=O, так как ©uv= —(Ow). Последнему
выражениями, в которых различные члены сокращаются друг с другом, либо совсем просто, положив (Oth = O. Пойдем дальше, пока не потребуются какие-либо отличные от нуля (Oliv. Из ю X = a dx получаем
По виду первого слагаемого сделаем предположение, что ©*? = (а/а) в»*, и будем надеяться, что остальные слагаемые равны нулю. (Отметим, что это согласуется с <о?5д(ох = -(ої?д(ох = (опл(ох=0 в уравнении с de>*.) Берем = = a sinxdB и пишем
d©< =0.
Сравним это с dto ^ = —©‘цД©!*, т. е. с
соотношению можно удовлетворить, положив © ~ ©*, либо более сложными
d©* =а гііДгіх= (а/а) ©‘ Д©* = — (а/а) ©* Д©^.
Сравниваем это с
d©* в — ©'ХцД©!1= — ©*$ Дю* —©*§Д©'® —©*^Дю*.
2
§ 14.6. Вычисление кривизны 439 Предполагаем (что не противоречит написанным выше соотношениям), что
0)9 ~ = to ‘ g = (а/а) Wis , ю®? == — ©*§ =a"‘etg Xfflff.
И, наконец, из
d© * = (а/а) © ^ Д ©+ + a-1 ctg X® х Д ©¦ — (a sin х)-1 ctg 0© ® Д © + =
« — ©5ї|Д©‘ — ©*? Affl*—©*gA©8
выводим вначения ©*?, ©+? и ©* §• Они не противоречат сделанному выше предположению, что члены типа ©^$Д©* равны нулю (в уравнении с d©§); таким образом, мы действительно нашли [решение уравнений d©1* = —W14vAfflv в виде полного набора форм свявности ©**v:
©fc ~ = ©?fc = (а/а) ©\
©8С = —© х я = а-1 Ctgxffl^ =cosxd0,
. . . (3)
©*?= —© = a-1 ctg x® * — cos X sin 0 d^,
ffl*§ = —©® j = (a sin X)-1 ctg 0©* = cos0d<?.
Конечно в некоторых вадачах этот метод проб и ошибок для нахождения ©•*„ не удается применить; тогда следует воспользоваться соотношениями (14.32) и (14.33).
Б. Вычисление кривизны
Вычисление кривизны производится непосредственной подстановкой ©**v из COOTr ношений (3), полученных выше, в уравнение (14.34), которое имеет вид
=d©*\+W14eAfflaV
Это уравнение достаточно короткое, чтобы можно было выписать сумму
Mt- = d©?jr + ©‘gA©8?+©‘$Affl*?
в отличие от десяти слагаемых в соответствующем уравнении 7? = дГ-J- Г2 (уравнение (3), дополнение (14.2)]. Предостережение^ Если вычисление d©‘c из
Л * х = (a^a) ©х приводит к результату d©* ? = (a/a)* ©‘ Д©'*, то это неверно. Здесь не хватает члена (a/a)d©%. Вместо этого проще записать ©*? = (a/a)©* =
= adX, откуда сраву получим d©‘ j= ad*Adx— (a/a) ffl‘ Affl*- Соблюдение элементарных предосторожностей и правильная подстановка ©>*v из (3) в формулу
(І)
440 14. Вычисление кривизны
для Л*' позволяют найти
M t j = (а/а) <о* Дю*
и
J?*g = а_2(1 + а2)<о^Дв>®.
Ha этом заканчивается вычисление RttvaQ, поскольку в модели изотропного мира все пространственные направления в ортонормированной системе со*1 алгебраически эквивалентны. Поэтому можно выписать полный набор
Jlik = (а/а) а? Дю\
Л* і — а~г (1 + а2) <о* Д Конкретные компонепты, например
Л\п=а/а, Rtin = O и т. д.,
или
д16х$=0’ Д%з;=а-2(1 + «2),
легко выписываются из полученного представления для Л\.
Б. Свертка
Из соотношений (14.7) находим
Gtt = + За-2 (I + а2), (5а)
= G?0 =?Їф = 0==?ІхЄ = ?Єф =Qiit (56)
Gi * = G% 8 = GU = — [2а-‘а+ а'2 (1 + а2)] (5в)
и
R---G\ = 6 [а-1а+ flf2 (1 + а2)]. (6)
15. ТОЖДЕСТВА БИАНКИ И ГРАНИЦА ГРАНИЦЫ
2
Эта глава целиком относится к курсу 2.
В качестве подготовительного материала для иее необходимо ознакомиться
1) с гл. 4 (дифференциальные формы) и
2) с гл. 14 (вычисление кривизны).
При ее чтении полезно знание материала гл. 9—11 и 13.
Она не нужна в качестве подготовительного материала
для последующих глав, но знакомство с ней окажется полезным
в гл. 17 (эйнштейновские уравнения поля).
§ 15.1. КРАТКО O ТОЖДЕСТВАХ БИАНКИ
Геометрия дает указания материи, но каким образом материя может давать указания геометрии? Геометрия передает свои указания материи простым способом: «Следуй вдоль мировой линии с экстремальным собственным временем (по геодезической)». А каким способом материя оказывает обратное действие на геометрию? Как можно выделить правильный способ, когда метрическая геометрия Римана и Эйнштейна обладает множеством интересных особенностей? Физика указывает, что пужно искать такой вид связи между тяготением (кривизной пространства-времени) и источником (материей; тензором энергии-импульса Т), который, обеспечивает автоматическое сохранение источника (У -T = 0). Следовательно, физика задает математике вопрос: «Какая характерная величина типа тензора в геометрии автоматически сохраняется?» Математика дает ответ: «Тензор Эйнштейна». Физика спрашивает: «Каким образом обеспечивается это сохранение?» Математика в лице Эли Картана отвечает: «Благодаря принципу, гласящему, что граница границы равна нулю» (дополнение 15.1).
