Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ваем тождество Бианки в виде
#°Wi*;v] = 0. (15.4)
l/l -29—01457
2
450 15. Тождества Бианки и граница границы
Полный момент поворота всех шести граней куба:
І) опнеанне
(Две другие формулировки этого тождества в абстрактном, свободном от координат виде см. в упражнении 14.17, где оно представлено как d31 = 0, и в § 15.3.) Это тождество занимает в теории гравитации такое же место, какое тождество dF= ddA = 0 занимает в теории электромагнетизма:
[Xii.vi — [Xm;vi — 0. (15.5)
§ 15.3. МОМЕНТ ПОВОРОТА: КЛЮЧ К ПОНИМАНИЮ СВЕРНУТОГО ТОЖДЕСТВА БИАНКИ
Как показал Картан [6, 174,’ 175], свернутое тождество Бианки — тождество, которое дает «вид связи с источником», имеет непосредственное отношение к «моменту поворота». Моменты известны из обычной механики. Твердое тело остается в покое только в том случае, если сумма всех действующих на него сил равна нулю:
SF<*> = 0. (15.(5)
і
Это условие является необходимым, но не достаточным. Должна быть равна нулю и сумма моментов этих сил относительно некоторой точки ІР:
S (^‘*)= 0. (15.7)
І
К счастью, не нужно уточнять, относительно какой точки берутся моменты. Причина этого проста. В качестве коэффициента перед произвольной точкой в векторном произведении (15.7) стоит величина S Fiiy, обращение в нуль которой уже потребовано ранее.
і
Ситуация для элементарного куба на фиг. 15.1 аналогична. Здесь поворот, соответствующий данной грани, является аналогом силы F<‘> в механике. А обращение в нуль суммы таких поворотов, вычисленных по всем шести граням куба, является аналогом обращения в нуль суммы сил FliK
Что же является аналогом момента силы (с которым мы сталкиваемся в механике) при анализе кривизны? Это момент поворота, соответствующий данной грани куба. Значение каждого отдельного момента зависит от точки отсчета Р. Однако по той же точно причине, что и в механике, значение суммы этих моментов, взятой по всем шести граням куба, не зависит от точки отсчета Р. Следовательно, в качестве P можно выбрать какую угодно точку как внутри элементарного куба, так и вне его. Более того, куб можно считать частью гиперповерхности, рассекающей пространство-время. Поэтому P может как принадлежать этому сечению, так и находиться вне его. Необходимо лишь, чтобы все расстояния, с которыми приходится иметь дело, были достаточно малы, чтобы можно было с требуемой точностью найти моменты и сумму
§ 15.4. Нахождение момента поворота 451
2
моментов в локальной системе нормальных римановых координат. При этом мы получим независящий от <?Р суммарный момент поворота (не обязательно равный нулю; гравитация — это не механика!), соответствующий рассмотренному кубу. Теперь наступает очередь магического «граница границы равна нулю». Отождествим полный момент поворота куба, найденный суммированием отдельных моментов поворота, соответствующих отдельным граням, с интегралом от плотности-тока источника (тензора энергии-импульса *Т) но объему этого 3-куба. Проведем это отождествление не только для одного 3-куба, но и для всех восьми 3-кубов (гиперграней), которые ограничивают четырехмерный куб, рассмотренный в дополнении 15.1. Просуммируем интегралы от плотности-тока источника *Т не только по одной гиперграни 4-куба, а по всем восьми гиперграням. В результате получим
J. /рождение \ Г / плотность-ток \
3 ис™™ика = J (источника *т =
4-куй \ Я’I / .'!-граница
этого 4-куба
восемь
граничных
3-куба
/полный момент поворота, \
— Zj J соответствующий ,чанному J \ кубу /
/ момент поворота, \
I соответствующий
(15.8)
восемь шесть граней, \данной грани куба/ граничнвіх ограничивающих '
3-куба данный 3-куб
(нуль)!
Пусть моменты не только для шести граней одного куба, но и для всех граней всех кубов берутся по отношению к одной и той же точке Напомним (дополнение 15.1), что любая данная грань соединяет два куба (две гиперграни). Поэтому при подсчете граней она учитывается дважды, один раз с одной ориентацией («направлением обхода при параллельном переносе, позволяющим найти поворот»), другой раз с противоположной ориентацией. Следовательно, двойная сумма тождественно обращается в нуль (граница границы равна нулю!). Этому тождеству обязан своим существованием новый геометрический объект — такая характеристика кривизны, которая сохраняется и, следовательно, дает способ установить связь с источником. Тем самым мы достигли желаемого результата. Теперь переведем его на обычный математический язык.
§ 15.4. НАХОЖДЕНИЕ МОМЕНТА ПОВОРОТА
Остается определить тензорный характер и значение этого сохраняющегося картанова момента поворота, присущего каждому элементарному 3-объему. Поворот, соответствующий пере-
2) отождествление с интегралом от источника
1*т по объему куба
3) сохранение
4) вычисление
29*
452 15. Тождества Бианки и граница границя
дней грани AyAzev Д B2 куба на фиг. 15.1, представляется в виде бивектора
(¦тга-Ете-)¦4,. (15.9)
принадлежащего событию впереди, гр ~ (t — у Af, х + Ах, у
I 1 \
