Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 161

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 180 >> Следующая


трудно получить «стандартную формулу для кривизны» [соотношение (11.12) и соотношение (3) в дополнении 14.2].

В заключение можно сказать, что исчисление форм и внешних производных сводит вычислительную процедуру

г liOtP —*¦ Л'ЧаЗ к вычислительной процедуре

->

Обратимся теперь к другому звену в цепи, ведущей от метрикп к кривизне. Таковым обычно являлось

Suv -Г«*„р.

Теперь оно сводится к нахождению «1-форм связности»:

Этот первый этап процедуры вычисления кривизны основан на двух принципах: 1) симметрии ковариантной производной и 2) совместности ее с метрикой. Условие симметрии в скрытом виде содержится в принципе

d2aP = 0. (14.26)

Здесь обозначение «3і для точки» исходит непосредственно от Картана, согласно которому вектор определяется движением одной точки по направлению к другой точке, бесконечно близкой к первой. Поэтому написать йІР означает взять «производную от точки» [осуществить построение, при котором «точка убирается» (основание вектора) и «точка восстанавливается вблизи» (острие векто-
§ 14.5. 2-формя кривизни 429

ра)]. Направление дифференцирования d в iff1 является неопределенным. Другими словами, имеет «входной канал». Лишь после того, как в этот канал введен определенный вектор V, № дает определенный ответ в форме картанова вектора. Что же представляет собой этот вектор, который получается на выходе d#? Это сам вектор V. «Перемещение, равное V, заставляет точку 3і воспроизводить перемещение, которое само есть V»; в конкретных обозначениях имеем

(d?\ ?) = ?. (14.27)

Выразим содержание этого равенства в более формальном виде. Величина d9* есть тензор ранга

ДО «де»». (14.28)

Он отличается от тензора ранга общего вида

T = BjilvUv

специальными значениями своих компонент

Т\ = б V

В этом смысле он заслуживает названия «единичный тензор». Подставим этот* тензор вместо S в соотношение (14.22); в результате получим

(d2$S и Д V) = VuV — V,u — [и, у] = 0. (14.29)

Нуль в правой части взят из соотношения (10.2а) и означает «эамы-кание векторной диаграммы» на рисунке, названном «симметрией ковариантного дифференцирования» в дополнении 10.2. Обращение в нуль правой части при произвольных Und требует обращения в нуль d25* слева, и наоборот, обращение в нуль d*<9* влечет

ла собой симметрию ковариантной производной. Другим принципом, на котором базируются последующие вычисления, является «совместность ковариантной производной с метрикой», выраженная в форме соотношения

d(u-v) = (du)-v + u*(dv). (14.30)

Здезь суцззтвэниэ обрацзнае в нуль кэвариантнэй производной от метрики (от «точки»):

d (.) = 0.

Раскроем условия симметрии (14.26) и совместности (14.30) ковариантной производной, воспользовавшись базиспыми векторами (и, где это необходимо, базисными 1-формами, дуальными этим базисным векторам). Таким образом, из
2

430 14. Вычисление кривизны

2) выраженная в виде d(o^+ +(D^vAwv= 0

Совместность g и V

Метод

2-форм кривизны:

1) выбор метрики и системы отсчета

2) нахождение 1-форм

связности M11v

получаем

0 ¦= A2Si = йвц Д ©Iі+вцйсо** = вц (W1v Д <ov -f d(o>*)

и делаем вывод, что коэффициент при вц должен обращаться в нуль, т. е.

0 = d©i*-f («симметрия»). (14.31а)

Подставляя затем в (14.30) вместо произвольных и и v конкретные векторы вц и ev, в результате получаем

d#nv = + ©vli («совместность»), (14.316)

где

(Ollv == ^ateaV = TnvaWa. (14.3ІВ)

В соотношениях (14.31) связь между метрикой и формами связности выражена в наиболее компактном виде.

§ 14.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ С ПОМОЩЬЮ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ

Применение дифференциальных форм для вычисления кривизны иллюстрируется в дополнении 14.5. В данном параграфе дается общая схема метода. Он содержит три основных этапа: нахождение Wlxv, нахождение и нахождение G1V Если быть пунктуальным, то на первое место следует поставить выбор метрики и системы отсчета. При этом фиксируются базисные формы ©•* - Ь»а'йха' и компоненты метрики в ds2 =

= guv®1* ® ©v- Затем определяются формы связности «>¦*„ и определяются однозначно как решения уравнений (14.31а) и (14.316)

О = d(oi* + (oi\, Дю*,

dguv = ©HV *f" ©vu*

Метод «проб и ошибок» (описанный и проиллюстрированный в дополнении 14.5) часто позволяет быстро и легко найтп решение этих уравнений. [В упражнении (14.7) показано, что решение всегда существует; там доказано, что в координатной системе отсчета формула Кристоффеля (14.36) дает единственное решение. J Обычно наиболее удобной в употреблении является ортонормиро-ванная система отсчета с = Titiv (или какая-нибудь другая простая система, в которой gllv = const, например нулевая система). Тогда dg^v = 0, и из уравнения (14.316) следует, что (Otiv = = — Поэтому в случае четырех измерений требуется найти

ЛИШЬ шесть (Ojlv.

Если не удается быстро угадать ответ, можно воспользоваться систематическим методом решения уравнений (14.31) в ортонор-мированной системе или в какой-либо другой системе, в которой
§ 14.6. Вычисление кривизны, 431
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed