Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 167

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 161 162 163 164 165 166 < 167 > 168 169 170 171 172 173 .. 180 >> Следующая


°-1 Sdia-1

- дх •*

Q dQ

на языке курса 1 (гл. 3 и 5). На свободном от координат абстрактном языке

(§ 4.3—4.6) эквивалентная запись этого соотношения имеет вид

0=j d*J = j *J,

Q ва

где

*J = V123Ila:1 A Ilr1A Ат® + V023 Ac0A d**A ds® +

+ V03I da:0 A Ax3 A da:1 + V0J2 d®° A da1 A da:2

(структура типа «коробки для яиц» 3-формы плотности заряда и плотности тока).

Обеспечим автоматическое («тождественное») выполнение этого требования сохранения с помощью принципа «граница границы равна нулю», написав 4я* J = = d*F, тогда

4я j *J= J d*F= j *F = 0,

dQ dQ ввй (нуль I)

или, на языке курса 1, написав 4яУ14 = .Ftivjv, имеем

4л j = j Fliviv d?S11 = ( Fva d%a = 0.

ва OQ OdQ (нуль!)
§ 15.1. Кратко о тождествах Бианки 447

2

Другими словами, половина уравнений Максвелла в знакомом виде для плоского пространства

«привязывает» источник к полю таким образом, чтобы закон сохранения источника непосредственно следовал ив ддО. = 0.

Ж. В электромагнетизме также используется дд»0в 1-2-3-мерной форме («отсут-

Магнитный заряд связан с полем посредством соотношения 4я Jnaro = dF (перевод этого компактного языка курса 2 на эквивалентный язык курса 1 см. выше в пункте Е). Отсутствие магнитных зарядов означает, что интеграл от JMarB по любому

3-объему T должен быть равен нулю, или («интегрирование по частям», обобщенная теорема Стокса)

Чтобы удовлетворить этому требованию «автоматически», посредством принципа «граница границы равна нулю», запишем F = dA («выражение для поля через

4-потенциал»), после чего получим

div JE = V • JE — 4яр, rot В =» V хВ^Ё+AiuT

ствие магнитных зарядов»)

полный магнитный поток, выходящий через дТ

OcV0 OdcVa (нуль!)

3. Структура электродинамики в схематическом виде

А (потенциал)

§$Дуальност

^УУУУУЧУЧ

і

F (поле) - d А

*F (дуальное поле; М)

і

і

dF - 0 (тождество, основанное на том.

d *F - 4 irM

что дд = (S)

I

dM-О (выраженное в виде тождества, основанного на том, что дд - 0)

d*J - 0, или 7 • J х о

("авто.матическое" сохранение источника)
448 15. Тождества Бианки и граница границы

И. Структура геометродинамики в схематическом внде

(метрика )

7 ~ d (параллельный перенос; ковариантная производная; j обебщенная внешняя производная)

Ж - d2 (оператор I кривизны)

¦6 - *R* (дважды дуальный тензор)

*G-8ir*T

dX - 0 (полное тождество Бианки; основано на том, что дд • 0)

і

d*G - 0 (свернутое тождество Бианки, основанное на том, что дд-0)

d*T - 0, или V -T »0

("автоматическое" сохранение источника)

Интерпретация

тождества Бнанкн dM а 1 с помощью параллельного переноса вокруг шеста граней куба

§ 15.2. ТОЖДЕСТВО БИАНКИ d% = 0 — ПРОЯВЛЕНИЕ ТОГО, ЧТО «ГРАНИЦА ГРАНИЦЫ = 0»

Таково краткое изложение смысла тождеств Бианки; теперь следует выяснить все детали. Фиг. 15.1 служит иллюстрацией полного тождества Бианки d31 = 0 (см. упражнение 14.17), смысл которого можно кратко выразить словами: «Сумма обусловленных кривизной поворотов, испытываемых на каждой из шести граней произвольного элементарного куба, равна нулю». Изменение вектора А, возникающее в результате параллельного переноса по периметру указанной грани, будучи вычислено с точностью до наименьшего имеющего значение порядка малости, составляет

(15.1)

— 6Л® = Л“р„г (в I+Да:) ЛpAy Az.

Противоположная грань дает аналогичный вклад, но с противоположным знаком, и значения соответствующих величин должны быть взяты в точке х, а не х 4- Ах. Если воспользоваться нор-
§ 15.2. Тождество Бианки — граница границы = О 449

2

Z

ФИГ 15.1

Сложение поворотов, испытываемых на каждой иэ шести граней изображенного 3-объема, дает результирующий поворот, равный нулю («полное тождество Бианки»). Причина. Вклад каждой грани оценивается по изменению пробного вектора А, обнесенного параллельным образом по периметру этой грани. Сложение вкладов от всех граней показывает, что в результате каждое ребро проходится дважды, один рае в одном направлении, другой раз — в противоположном [граница (здесь одномерная) границы (двумерной) изображенного трехмерного тела равна нулю]. Пояснения. Вектор А, находящийся вначале в указанном месте, переносится параллельно к указанной грани, затем обносится параллельным образом по периметру этой грани, претерпевая при этом поворот, величина которого определяется кривизной пространства-времени вдоль этой грани, и затем опять же параллельным образом переносится обратно в исходную точку. С точностью до наинизшего порядка малости, который играет роль, в операторных обозначениях можно записать

(изменение А) = — Ду Дг SR. (ви, ez) А, или в координатных обозначениях — 6Лв = Лазуг(в х+ &х) A^i Ay Аг.

мяльными римановыми координатами, то сумма вкладов от обеих граней равна

адО

—^A* AxAyAz. (15.2)

В этих координатах из обращения в нуль полного —6Aa, составленного из вкладов от всех шести граней, следует

R Pv*;* “Ь R P«;v 4" R Pxi/;* = 0« (15.3)

В нашем случае вместо запятых (обычных производных) можно поставить (что здесь и сделано) точки с запятыми (ковариантные производные), поскольку в нормальных римановых координатах они совпадают; с другой стороны, ковариантная форма записи (15.3) является обобщением на случай произвольных криволинейных координат. Переходя от куба с ребрами х, у, z к кубу, определяемому произвольной тройкой координатных осей, записы-
Предыдущая << 1 .. 161 162 163 164 165 166 < 167 > 168 169 170 171 172 173 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed