Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференцируя еще раз, получаем
d2v = dea Л (dv® + <aavvv) + 8ц (A2V* -f d<o»\vv—Д dvv) =
= 8ц (Wia A Ava + (0*а AWaVfv + d2yl* + dtol*^ — ©•*„ A •
Сделанные здесь упрощения используют 1) соотношение (14.14), примененное еще раз, и 2) правило дифференцирования произведения (14.13а), которое приводит к появлению знака минус перед последним слагаемым, в результате чего оно сокращается с первым слагаемым. Рассмотрим теперь член A2V**. Напомним, что любая данная компонента, например у3, есть обычная скалярная функция точки (в отличие от V, е3 или B3V3). Следовательно, d в dV* обозначает всего лишь обычную внешнюю производную (гл. 4) от скалярной функции. Ho дважды примененная обычная внешняя производная автоматически дает A2v* = 0 (дополнение 4.1, Б; дополнение 4.4). Это обстоятельство позволяет свести разложение d2V к виду
d2v = e^Vv, (14.17)
где через ЯIiv обозначены 2-формы кривизны:
%»V=S dfi^V+ (O^aЛ «V (14.18)
Как правило, уравнение (14.18) по эффективности превосходит все другие методы нахождения 2-форм кривизны.
Замечательная форма уравнения (14.17) заслуживает более подробного рассмотрения. Слева стоят два оператора d, напоминающие нам о том, что мы дважды дифференцируем векторное поле V. Ho в правой части, представляющей результат дифференцирования, стоит лишь значение векторного поля V в интересующей нас точке — непродифференцированное. В ответ совершенно не входит характер изменения V от точки к точке. Единственное, что играет
роль,— это характер изменения геометрии от точки к точке.
Вот здесь-то и проявляется кривизна. Она проявляется независимо от каких-либо конкретных особенностей векторного поля V, поскольку операция d2 представляет собой антисимметризованную ковариантную производную [ср. выражение (11.8) для этой анти-симметризованной ковариантной производной на абстрактном языке, развитом выше, а в дополнениях 11.2 и 11.6 см. наглядное представление того, что происходит за кулнеами этих манипуляций]. Короче, результат двукратного применения оператора d к V представляет собой линейную алгебраическую операцию над V, т. е.
d2v = ^??. (14.19)
§ 14.5. 2-формы кривизны 427
2
Здесь посредством Зі сокращенно обозначена « | ^ j-тензорпозпач-ная 2-форма»:
^ = Bli <g> (14.20)
Если d представляет собой производную, у которой «есть канал» для ввода вектора, указывающего, в каком направлении нужно выполнять дифференцирование, то у d2W из d2w = есть два канала для ввода двух векторов, скажем U и V. Эти два вектора определяют плоскость, в которой должна быть вычислена анти-симметризованная внешняя производная (14.19) (изменение w при обходе по элементарному контуру, определяемому векторами и и V, с возвратом в исходную точку; дополнение 11.6 и 11.7). Чтобы подробно разобрать, что представляет собой в данном случае введение векторов во входные каналы, обратимся сначала к более простой ситуации и посмотрим, как «находится значение» внешней производной от 1-формы (представляющей собой 2-форму) на бивекторе U Д V («число сотоподобных ячеек 2-формы, отсекаемых областью, имеющей вид параллелограмма и определяемой векторами и и V»), причем результат вычисления (упражнение 14.6) выразим в форме коммутатора
<dct,}iAv> = dM («, V) —3, (а, и) —(а, [и, v]>. (14.21)
Этот результат очевидным образом обобщается на случай тензорнозначной 1-формы S любого ранга:
(dS, uAv> = Vu(S, V) — V»(S, u>—(S, [u, v]>. (14.22)
Применим этот результат к векторнозначной 1-форме S = dw. Вспомнив выражение для производной по направлению (dw,u) = = VuW, получаем
<d2w, и Л V) = V«V»w — V,V„w — V[u.„]W = %(u, v)w, (14.23)
где 31 (u, v) — оператор кривизны, определенный в гл. 11 [соотношение (11.8)]. Вывод звучит просто: ( J-тензорнозначная 2-форма .52
в (14.19), вычисленная для бивектора («параллелограмма») U Д V, тождественно совпадает с введенным ранее оператором кривизны 31 (u, v), т. е.
(?, иД v) = ^?|(и, у). (14.24)
Перейдем теперь с языка абстрактных операторов на язык, в котором начинают появляться компоненты. Подставляя в левую часть выражение (14.20), а в правую — значение оператора кривизны из (11.11), переписываем (14.24) в виде
Связь 2-формы кривизны о онератором кривизны Зі
2
428 14. Вычисление кривизны
Свяаь Si с компонентами R
Симметрия
ковариантной
производной:
1) выраженная в виде && в О
Сравнивая правую и левую части равенства, приходим к выводу, что каждая отдельная 2-форма кривизны задается выражением
Я*\, = і?%арі<овЛ©р (14.25)
ссуммирование по a, P производится лишь по комбинациям а < Pr и каждая пара индексов появляется только один pas).
Уравнение (14.25) содержит обещанную упаковку 21 компоненты кривизны в шести 2-формах кривизны, а уравнение (14.18) позволяет быстро находить эти 2-формы кривизны. Отнюдь не требуется принимать на веру уравнения (14.18), играющие основную роль при вычислении кривизны, или в совершенстве овладевать обобщенной внешней производной, чтобы доказать или использовать эти уравнения. В них нет ни одного d, отличающегося по смыслу от обычной внешней производной, рассмотренной в гл. 4. Более того, в справедливости этих ключевых уравнений можно убедиться (упражнение 14.18) с помощью подробных выкладок в компонентах в координатной системе отсчета. Для этого достаточно ввести базисные 1-формы ©“ = da:05, а затем воспользоваться соотношением Wiiv = получаемым из (14.15). Далее не-
