Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
кривизна меняется от X1 х, = 0 до ненулевого значения X1 + X2 ф 0.
5. Кривизна, с которой мы имеем дело в данной главе, есть внутренняя кривизна пространства-времени, т. е. кривизна, при определении которой не только не используется погружение в какое-либо гипотетическое плоское многообразие более высокой размерности, но даже не допускается мысли о возможности такого погружения (концепция Римана, Клиффорда и Эйнштейна, подразумевающая, что геометрия динамична, принимает самое непосредственное участие в физических явлениях и отнюдь не является каким-то данным нам богом абсолютным совершенством, не имеющим никакого отношения к материи и энергии).
6.‘Кривизна геометрии пространства-времени приводит к тому, что любое пространственноподобное сечение (3-геометрия; «гиперповерхность начальных значений») пространства-времени также искривлено (см. «соотношения Гаусса и Кодацци» в гл. 21, где рассмотрена проблема начальных значений в геометродинамике).
7. Поворот вектора в результате параллельного переноса по замкнутому контуру дает нам в случае трех и четырех измерений определение кривизны столь же полезное, как и в случае двух измерений. (В криволинейной двумерной геометрии в данной точке есть только одна плоскость. Поэтому для описания гауссовой кривизны в этой точке требуется всего лишь одно число. В случае трех и четырех
2
412 14' Вычисление кривизны
измерений через каждую точку проходит большее число независимых плоскостей, а следовательно, для описания кривизны требуется больше чисел.) На рисунке начальное положение вектора обозначено пифрой 1 (северный полюс). Он обносится параллельным образом (положения 2, 3, . . .) вокруг сферического треугольника, все углы которого равны 90°. По возвращении в исходную точку вектор
(положение 4) оказывается повернутым на 90°: /гауссова X __ (угол поворота) ^ (я/2) 1
V кривизна/ /обойденная\ (1/8) (4яа2) а2
V площадь /
(положительна; направление поворота совпадает с направлением обхода).
8. Оставаясь пока для простоты в искривленном двумерном многообразии, опишем кривизну 2-поверхности с помощью 2-формы («клеточной структуры»), определенной на всей поверхности. Число клеток внутри каждого данного контура равно углу в радианах (в десятых, в сотых долях радиана и т.д., в аависимости^от того, насколько мелким выбрано разбиение), на который поворачивается вектор, обнесенный параллельно вокруг этого контура. Вклад данной клетки считается положительным или отрицательным в зависимости от того, совпадает или не совпадает направление указанной на ней стрелки (см. вид в увеличительное стекло) с направлением обхода контура.
9. 2-форма кривизны для изображенной поверхности вращения («тропический шлем»), имеющей метрику ds2 = da* + г2 (a) d^a, равна
1 «Pr . * J і
кривизна= —- Д гйф
(1)
§ 14.1. Кривизна дает возможность понять физику 413
2
(положительна на тулье шие\п и отрицательна на полях, как указано стрелками в «клетках 2-фэрмы» слева). «Смысл» проясняется при погружении поверхности в эвклидово 3-пространство — удобный способ наглядного представления; но гораздо важнее понятие 2-геометрии, определяемой внутренними измерениями, не связанными ни с каким погружением.
10. Hi этом двумерном примере удается как нигде четко и со всеми вычислительными подробностями показать, каким образом длины («метрика») определяют кривизну Он служит иллюстрацией того, «что происходит за кулисами» тех математических манипуляций, которые производятся в данной главе с 1-формами и 2-формами в четырехмерном пространстве-времени.
а. Результирующий поворот при обходе вокруг элемента поверхпости JbSlЯЛА равен б — б (вектор не отклоняется ни вправо, ни влево при переносе вдоль меридианов AJb и 3131).
б. Поворот вектора при переносе из Л в SS по отношению к системе координат (направлениям меридианов) равен
(угол 8) ДЛИНа ДУГИ rj(q-Hto)A<ft-r(q) Аф / dr\ д. длина вектора da \da /о
в. Аналогично поворот вектора при переходе из Л в SS равен
(угол S)-(?)„+*,**-
V. Результирующий поворот составляет
д. Если теперь выразить его в виде формы, то сразу получим соотношение (1).
е. Идейная и вычислительная стороны в случае четырех измерений сложнее в основном потому, что в интересующей нас точке ориентация изучаемой поверхности может быть выбрана различным образом.
11. Оставаясь в рамках данного двумерного примера, можно сразу же перевести эти геометрические идеи на язык форм. Пробный вектор Ai = (A1, At), будучи обнесенным вокруг границы элемента поверхности, возвращается в исходную точку, слегка изменив свое направление:
—(изменение А1) = JiijAi. (2)
а. Для большей определенности удобно взять в качестве базисных 1-форм »¦ = dff и <#* = гіф, за A1 принять компоненту Л в направлении увеличения ст и за A2 — компоненту А в направлении увеличения ф. Матрица
Л J является матрицей вращения, которая изменяет направление, но не длину вектора (нулевые диагональные элементы); таким образом, в нашем случае
<¦ о
-л\ 0
(3)
В разбираемом примере очевидно, представляет собой угол, на который поворачивается вектор А при параллельном обнесении вокруг элемента поверхности.