Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Дополнение 14.4. МЕТОД ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ЛАГРАНЖИАНА В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ СОКРАЩАЕТ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ
Цель. Найти крививну для линейного элемента
ds2 = L2 (<№а -f e-^dy2) — 2dudv, (I)
где Lu P являются функциями одного только и. (Эта метрика рассматривается
в качестве примера гравитационной волны в § 35.9—35.12.)
Метод. Найдем Г**вр из уравнений геодезических, вытекающих из вариапионного принципа (14.10), а затем вычислим R11va в ~ 5Г + Га по схеме, описанной в дополнении 14.2.
Этап 1. Выписываем вариационный интеграл. Для рассматриваемой метрики уравнение (14.10) требует, чтобы 6 I = 0, где
/= j [-L L2(?20^4-е-^у)-UV] dX. (2)
Мировая линия, на которой этот интеграл достигает экстрсмума является геоде-
зической.
Этап 2. Варьируем по очереди координаты мировой линии как функции X. Сначала проварьируем х (X), фиксировав функции у (X), и (X) и v (X). В этом случае
Ы = j (Lte2-H) Ьх dX = — j (L2C2Pz)* Sx dX.
Требование 81=0 для данной (среди прочих) вариации означает
0 = (L2C2Pi)* = LWt5X + хй ~ (L2C2P).
Варьируя таким же образом у, и и у, получаем
0 = (Ito-^yY = L2e-2Py-f yu-І;-(L2C-2P),
о=^+т -Ir ^2e2p)+j Ї Ir ^-2Э).
0 = и.
Этап 3. Перегруппировываем члены, чтобы впереди стояли ж1*. Если этот этап нельзя выполнить непосредственным образом, то данный метод не даст экономии времени, и удобнее будет обратиться к методам дополнения 14.2 или дополнения 14.5. В данном примере, обозначив штрихом проивводную д/ди,
2
422 14- Вычисление кривизны
легко получаем
О = х + 2 (L-iLt + P') Xil, (Зх)
О я У + 2 (L~lV — $')уи, (Sy)
О _ V+ (LW) (L-lLj + P')&+ (L4-W) (L-lLt — P') у\ (Sv)
О = U. (3 и)
Этап 3'. Интерпретируем пэлученные уравнения как таблицу Гйар« Уравнения (3) являются стандартными уравнениями геодезических
хf* -f- = 0.
Поэтому достаточно лишь просмотреть их, чтобы найти значение любого из коэффициентов Г. Например Г* у и должен стоять в коэффициенте (Гхии + Txut) =
• • • • • •
= 2Гїуи перед членом уи в уравнении для х. Ho в уравнении (Зх) нет члена уи. Следовательно, в данном примере Txyu равно нулю. Отметим, что уравнения (3) просты в том смысле, что содержат лишь несколько членов; поэтому большинство коэффициентов должны быть равны нулю. Например, из уравнения (За)
следует, что все десять коэффициентов Г“ар равны нулю. Ненулевые вначения имеют лишь Tscsu = Tscut. = (L-1L' + P') из уравнения (3z), Twtfu = Twui, = = (L-1V — P') из уравнения (Зу) и Г°ях и Tbj,,, из уравнения (Зу).
Этап 4. Находим все R11va6 и т. д. Последовательное применение соотношения (3) из дополнения 14.2 не позволяет сколько-нибудь облегчить вычислительную процедуру. Необходимо выписать 21 компоненту .R11vap, которые не связаны друг с другом Соотношениями симметрии -RnvaS = ^agHv = —^vga, И ВЫЧИСЛИТЬ каждую из них. Отметим, что в данном примере из Tua6 = 0 следует, что -Rua6v = = -Rra Bv = 0. Это эквивалентно тому, что 15 компонент из 21 сразу же обращаются в нуль. В результате список приобретает вид
-Rpaev— —-RuOiPv = 0,
Ruxux= -Rrxux= -(T0x xy + rxxTxxu=-(LW) (^+р'+г^Р'+Р'2),
RuXXy = --RBXXy = Oj
Ruxyu= —R°xyu = 0, (4)
Ruvuy= -RvUUy= -(ГууУ+ГууТУу»= -(I*-*) —Р" — 2 -^-р' + р'2) ,
Ruyxy = Rv у Ху = О,
Rxuxy = (LW)Rxvxy = O.
Теперь с помощью соотношений (14.7) можно найти тензор Эйнштейна. Однако в данном примере прямая свертка позволяет не менее просто найти сначала
тензор Риччи. Вклад дают лишь слагаемые сц, = ?И|А = г/, поскольку верхний индекс не может принимать значение и и ни один нижний индекс не может при-
§ 14.5. 2-формы кривизны 423
2
нимать значение v. Таким образом, находим
Ruu = -2 IL-1L' + П (5)
все остальные Ra3 = О
и
R= 0. (6)
Из этого последнего результата следует, что в данном примере искомый тензор
Эйнштейна тождественно совпадает с тензором Риччи.
§ 14.5. 2-ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
В электродинамике абстрактные обозначения
F = dA
дают значительную экономию места по сравнению с явной записью
р ___ дА\ дАз
31 дхЗ дхі »
р ___ дАг дА\
12 ~ Sxt 0*2
и т. д. (шесть уравнений);
нет никаких причин отказываться от подобной экономии, когда
речь идет о динамике геометрии. Ключевые понятия дифферен- Повятия
ЦИаЛЬНОЙ формы (где ПРОСТОЙ Объект Заменяет переЧИСЛе- необходимые
ние четырех компонент, а = Оц Ar1*) и внешней производной d, г^ормГкривизны
рассмотренные выше, были введены Картаном. Ему же удалось упаковать 21 компоненту Д^<*р тензора кривизны в шесть 2-форм кривизны [6]
Г—«*
Если эти 2-формы считать просто новым обозначением, то их введение автоматически оказывается выгодным. Они сокращают работу по выписыванию ответа после того, как он получен. Они позволяют также глубже понять «кривизну как геометрический объект», хотя основное внимание в данной главе уделяется не этому.
Внешняя производная Картана d автоматически учитывает многие сокращения в процессе вычисления кривизны. Благодаря ей многие члены сокращаются еще до того, как возникает необходимость в вычислении их значений.
