Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Г. Идея в применении к теориям тяготения и электромагнетизма
Одним основным пунктом является закон сохранения (сохранения заряда; сохранения энергии-импульса).
2
444 15. Тождества Бианки и граница границы
г
I - 1/2 Дг
^ X
Другим основным пунктом является «автоматическое выполнение» этого закона сохранения.
«Автоматическое сохранение» требует, чтобы источник не имел полной свободы изменяться произвольным образом от точки к точке и от одного момента времени к другому.
§ IS 1 Кратко о тождествах Бианки 445
Источник должен быть связан с чем-то таким, что обладает своими собственными степенями свободы и в то же время настолько урезает степени свободы источника, которые до этого были совершенно произвольны, что обеспечивает автоматическое выполнение закона сохранения источника. Назовем это что-то «полем».
Определим это поле и «привяжем» его к источнику таким образом, чтобы сохранение источника автоматически вытекало из «равенства нулю границы границы». Или, в более определенной форме: сохранение означает, что источник не рождается и не исчезает внутри четырехмерного куба, изображенного на рисунке. Это эквивалентно тому, что интеграл по «актам рождения» (интеграл от d* J для электрического заряда; интеграл от d*T для энергии-импульса) в этой четырехмерной области должен быть равен нулю
Интеграл рождения по этой четырехмерной области переводится в интеграл от плотности-тока истопника (*J или *Т ) но трехмерной границе этой области. Эта граница состоит из восьми гиперграней, каждая со своей ориентацией. Интеграл по верхней гиперграни (AxAyAz) дает количество имеющегося источника в более позднпй момент; интеграл по нижней гиперграни дает количество имеющегося источника в более ранний момент; интеграл по таким гиперграням, как AtAxAy, дает количество источника, вытекшего за прошедший промежуток времени. Сохранение означает, что сумма этих восьми трехмерных интегралов должна быть равна нулю (подробности см. в гл. 5).
Обращение в нуль этой суммы трехмерных интегралов позволяет сформулировать требование сохранения, но не позволяет найти механизм, обеспечивающий «автоматическое» (или, в математических терминах, «тождественное») удовлетворение этого требования. Поэтому обратимся к принципу, утверждающему, что «граница границы равна нулю».
Потребуем, чтобы интеграл от плотности-тока источника по любой ориентированной гиперграни T (трехмерная область; «куб») был равен интегралу от поля по граням этого «куба» (каждая грань берется с соответствующей ориентацией, •а куб имеет бесконечно малые размеры):
Просуммируем по всем шести граням этого куба, добавим сумму по шести граням другого куба и т. д., пока не будут охвачены все восемь кубов. При этом окажется, что каждая данная грань (например, заштрихованная грань на рисунке) учитывается дважды: один раз с одной ориентацией, другой раз — с противоположной («граница границы равна нулю»). Тем самым обеспечивается сохранение источника: интеграл от плотности-тока источника по трехмерной границе четырехмерной области автоматически обращается в нуль, что влечет за собой тождественное обращение в нуль интеграла рождения по внутренней части этой четырехмерной области.
Повторив все выкладки для этой же четырехмерной области, граница которой немного смещена в одном месте («пузырьковое дифференцирование» Томопаги [170] и Швингера [171]), придем к заключению, что сохранение обеспечивается не только в четырехмерной области, взятой целиком, но и в каждой ее точке, а после соответствующего распространения —и повсюду в пространстве-времени.
2
446 15. Тождества Бианки и граница границк
Д. Связь источника с полем
Одна точка зрения: источник первичен. У поля могут быть и другие функции, но его основная функция состоит в том, чтобы «служить» источнику. Сохранение источника прежде всего; поле должно соответствующим образом подлаживаться.
Другая точка зрения: поле первично. На поле возлагается ответственность следить за тем, чтобы источник подчинялся закону сохранения. В отсутствие поля источник просто не знал бы, что ему делать, и даже вообще не существовал бы. Источник «построен» из поля. Сохранение источника есть следствие этого построения.
Одна из моделей, иллюстрирующая такую точку зрения в простейшем случае, утверждает: понятие «классический» электрический заряд представляет собой не что иное, как «электрические силовые линии в топологической ловушке многосвязного пространства» 1106, 172, 173].
С любой точки зрения: интеграл от плотности-тока источника по любой трехмерной области (по «кубу» в упрощенном анализе, проведенном выше) равен интегралу от поля по границе этой области (по шести граням куба, рассмотренного выше). Никто еще до сих пор не отыскал иного способа постичь взаимосвязь законов поля и закона сохранения.
Е. Электромагнетизм в качестве модели: как «привязать» источник к полю, чтобы подучить автоматическое сохранение источника посредством дд = О в 2-3-4-мерной форме
Сохранение означает равенство нулю рождения заряда (равенства нулю в четырехмерной области ?2). Поэтому сохранение требует обращения в нуль интеграла от плотности-тока заряда по трехмерной границе этого объема, т. е.
