Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
$ 15.7. ОТ СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ПОВОРОТА К ЭЙНШТЕЙНОВСКОЙ ГЕОМЕТРОДИНАМИКЕ: ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ЭКСКУРС
Источником тяготения является масса, или масса-энергия. Масса-энергия представляет собой одну компоненту 4-вектора энергии-импульса. Энергия и импульс — сохраняющиеся величины. Количество энергии-импульса в элементе 3-объема d3S равно
Т-ввГ"^ (15.22)
(см. дополнение 15.2). Сохранение энергии-импульса в элементарном 4-кубе Q выражается в виде
j *Т = 0. (15.23)
0Q
«Вывоз» уравнения поля Эйнштейна на требования: (оохранение суммарного
поворота)=^ =Ф(еохраненне ¦ет очинка)
2
458 15. Тождества Бианки и граница границы
УПРАЖНЕНИЯ
Этот закон сохранения не случаен. Согласно Эйнштейну и Kap-тану, он выполняется «автоматически»; более того, его автоматическое выполнение есть следствие точного равенства между энергией-импульсом и автоматически сохраняющейся характеристикой кривизны. Что это за характеристика? Это момент поворота, удовлетворяющий закону автоматического сохранения:
j*G = 0. (15.24)
dQ
Другими словами, сохранение энергии-импульса можно сделать геометрическим по характеру и автоматическим по выполнению, воспользовавшись следующим рецептом: отождествим тензор энергии-импульса (с точностью до множителя 8л, или 8IiGIci, или другого множителя, который зависит от выбора единиц измерения) с моментом поворота', таким образом,
*(d^A^?) = *G = 8n*T, (15.25)
или, эквивалентным обраєом (также на языке векторнозначных 3-форм),
(шкр"») = *<«“ ЛЯ)=_
= 8neCTy°Td32t, (15.26)
или на языке тензоров
G = BoGortBi = SneaTotBx = 8яТ, (15.27)
или на языке компонент
Gox = SnTax (15.28)
(уравнение поля Эйнштейна; в гл. 17 оно рассмотрено более подробно и больше внимания уделено вопросу о его единственности; см. также дополнение 15.3). Такой простой оказывается связь между всей общей теорией относительности и принципом, утверждающим, что граница границы равна нулю. Никому еще не удавалось найти более убедительной основы для принципа сохранения импульса и энергии. Никому еще не удавалось глубже постигнуть действие материи на пространство и пространства на материю, которое мы называем тяготением.
Резюме: в теории Эйнштейна сохранение энергии-импульса реализуется как тождество «граница границы равна нулю».
15.1. Граница границы 4-симплекса
Исследуя развитие во времени геометрии, не обладающей какой-либо симметрией, когда приходится прибегать к расчетам на вычислительной машине, можно в качестве одного из возможных методов
§ 15.7. От сохранения момента поворота к гвометродинамике 459
2
разбить 4-геометрию на достаточно большое число достаточно малых симплексов [четырехмерный аналог двумерного треугольника и трехмерного тетраэдра; например, в качестве вершин «центрального симплекса» обычно берутся точки (t, х, у, z) = (О, I, I, 1), <0, I, -I, -1), (0, -I, I, -1), (0, -I, -I, 1), (5‘/2, 0, 0, 0)], в пределах каждого из которых геометрию можно считать плоской (лоренцевой), а всю кривизну — сосредоточенной в местах соединений этих симплексов (см. анализ динамики геометрии с по-ающыо исчисления Редже в гл. 42). Определите («опишите математически») границу (трехмерную) такого симплекса. Возьмите один участок этой границы и определите его границу (двумерную). Взяв один участок этой двумерной границы, удостоверьтесь, что существует одно H только одно место в этом разложении границы границы, где данный участок взаимно уничтожается с другим двумерным участком («отсутствие граней» у 3-границы симплекса).
15.2. Тензор Бела — Робинсона [180-185] 1J
Определим тензор Бела — Робинсона посредством соотношения J1Opve = RoLWnRfFb-sT *Rapya*RfiP6°- (15.29)
Покажите, что в пустом пространстве-времени этот тензор можно переписать в виде
Т’аруб = RapyoRfiP6 "4" Rap6aRfiPy-g SafiSyiRpabiiRpa^il• (15.30a)
Покажите также, что в пустом прострапстве-времени
TaPve-, « = °. (15.306)
Tafiv6 симметричен, и его след равен нулю по всем парам индексов.
(15.30в)
Обсуждение. Оказывается, что «канонический псевдотензор энергии-импульса» Эйнштейна (§ 20.3) для гравитационного поля в пустом пространстве-времени обладает второй производной, которая в нормальных римановых координатах имеет вид
V^ g~ I Tafiyb Sаруй | • (15.31а)
Здесь Tвруб — совершенно симметричный тензор Бела — Робинсона, а Safiyb определяется соотношением
SapyR = Ra6poRfiyP 4" RaypaRfib^ “Н~~j~ SafiSy^RtivpaR^^ • (15.316)
х) Sejnowski Т. J., частное сообщение, 1973 г.
УПРАЖНЕНИЯ
2
460 15. Тождества Бианки и граница границы
упражнения Sapv6 появляется в ковариантном волновом уравнении для пустого пространства
Д-^aPve= RatobV ** 4" RaZpoRyi30 “Ь + 2 (Rap40RfiV - RuptoRffya) = 0 (15.31в>
(Д — разновидность волнового оператора Лихнеровича— Дерама [486]), когда мы записываем это уравнение в виде
? flaPve= Ruf?6., ^ = 2VV1- (15.31г>
Дополнение 15.3. ДРУГИЕ ТОЖДЕСТВА, КОТОРЫМ УДОВЛЕТВОРЯЕТ КРИВИЗНА
1. Источником гравитации является энергия-импульс.
2. Энергия-импульс находит свое выражение в тензоре энергии-импульса (или в дуальном тензоре) в виде векторнозначной 3-формы («энергия-импульс единицы
