Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В действительности автоматически сохраняются две характерные особенности кривизны, или, в другой формулировке, кривизна удовлетворяет двум тождествам Бианки (предмет изучения данной главы). Обе особенности кривизны, которые являются «геометрическими объектами», допускают наглядное представление на чертежах и, более того, на чертежах, отображающих в действии принцип «граница границы равна нулю». В этом отношении геометрия пространства-времени удивительным образом напоминает поле в максвелловской электродинамике.
Тождества в сохранение источника: оравнение теорий электромагнетизма в гравитации
2
442 IS. Тождества Бианки и граница границы.
В электродинамике имеются четыре потенциала, которые объединены в 1-форму A ва AllAxtl. Из этой величины с помощью дифференцирования получается F = dA. Это поле удовлетворяет 4f я о тождеству dF = 0 (тождеству — да; тождеству, допускающему
определение сохраняющегося источника,— нет).
В теории тяготения имеется десять потенциалов (метрических коэффициентов g^v), которые объединены в метрический тензор dxv. Из этой величины с помощью двух дифференцирований получается оператор кривизны
Я=^eliA Bvfliwep daO'AdzP.
dao Этот оператор кривизны удовлетворяет тождеству Бианки (U? = О,
где d теперь представляет собой обобщение внешней производной Картана, более полно описанное в гл. 14 (снова тождество, но снова такое тождество, которое не допускает определения сохраняющегося источника).
пйЭпимп ® электромагнетизме, чтобы получить такие характеристики
мшювелла поля, которыми можно управлять с помощью источника d*F =
=?.d»j —о = 4ji*J, требуется перейти к дуальному объекту *F. Сохранение
источника d*J — Ов данном случае оказывается следствием тождества dd*F = 0, или, другими словами (дополнение 15.1), следствием обращения в нуль границы границы.
В физике тяготения нужно перейти к «дважды дуальному» (две пары альтернированных индексов, две возможности применить оператор дуальности) R объекту €1 = *R*, чтобы получить такую характеристику поля, с помощью которой можно управлять источником:
G = SpCi = 8пТ = 8п X (плотность энергии-импульса).
Сохранение источника T = вM.7T*AV*>V можно сформулировать как V-T = O. Ho для наших целей более подходит форма (см. гл. 14 _ и упражнение 14.18)
пола Эйнштейна d*T = 0,
” 0 где
*Т = OtlT11v (*<av) = BllTtivCl3Sv.
Этот закон сохранения вытекает в качестве следствия из «свернутого тождества Бианки» d*G = 0, которое тоже можно интерпретировать как обращение в нуль границы границы.
d*e = О
Дополнение 15.1. ГРАНИЦА ГРАНИЦЫ РАВНА НУЛЮ
А. Идея в l-2-З-мерной форме
Начнем с ориентированного куба или некоторого приближения к нему (трехмерного).
Его граница состоит из шести ориентированных граней, каждая из которых двумерна. Ориентация каждой грани указана стрелкой. Граница одной ориенти-
§ 15.1, Кратко о тождествах Buamu 443
2
рованной грани состоит иа четырех ориентированных ребер, или стрелок, каждая из которых одномерна. Каждое ребро соединяет две различные грани. Ни одно ребро не лежит само по себе, изолированно.
«Просуммируем» по всем этим ребрам, учитывая надлежащим образом знак каждого из них. При этом окажется, что каждое данное ребро учитывается дважды: один pas в одном направлении, другой раз — в противоположном.
Отсюда заключаем, что одномерная граница двумерной границы трехмерного куба тождественно равна нулю.
Б. Идея в 2-3-4-мерной форме
Начнем с ориентированного четырехмерного куба или некоего приближения к нему. В качестве координат угловых точек 4-куба можно взять ^t0 ± At,
х0 Ах, у0 ±-g- Ay, Zn ± 4" ^z)1 а для самих Угловых точек удобно ввести
понятные сокращенные обозначения вида H--------------)-• Всего таких угловых
точек 16. Трехмерные грани 4-куба легче представить, нежели его самого; эти грани, представляющие 4-куб «в разобранном виде», изображены вокруг него на рисунке, где их можно изучить во всех подробностях.
Граница 4-куба состоит ив восьми ориентированных гиперграней, каждая из которых трехмерна (верхняя гипергрань, например, простирается на AxAyAz, «передняя» гипергрань простирается на AtAyAz и т. д.).
Граница одной гиперграни («куба») состоит из шести ориентированных граней, каждая из которых двумерна. Каждая грань (например, заштрихованная грань AxAy в левом нижнем углу) соединяет две разные гиперповерхности (в нашем примере это «3-куб боковой гиперграни» AtAxAy в левом нижнем углу и «3-куб верхней гиперграни» AxAyAz). Ни одна грань не лежит сама по себе, изолированно. Трехмерная граница 4-куба не имеет 2-поверхности, обращенной к внешнему миру. У нее нет граней.
«Просуммируем» по всем этим граням, учитывая надлежащим образом ориентацию каждой из них. При этом окажется, что каждая данная грань учитывается дважды: один раз с одной ориентацией, другой раз — с противоположной.
Отсюда заключаем, что двумерная граница трехмерной границы четырехмерного куба тождественно равна нулю.
В. Идея в общей абстрактной форме дд = 0 (граница границы равна нулю).
