Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
14.12. Последовательное вычисление форм связности в ортонормированных системах
Выведите соотношение (14.32), применив (14.21) к базисным векторам и воспользовавшись определением c^v® (8.14). Затем покажите, что в ортонормированной системе (как и в любой другой систе-
2
УПРАЖНЕНИЯ
28-01457
2
УПРАЖНЕНИЯ
434 14. Вычисление кривизны
ме, в которой ^liv = const) выражение (14.33) дает решение уравнений (14.31), которые служат определением (Otlv [Ср. также соотношение (8.246).]
14.13. Шварцшильдовские формы кривизны
Воспользуйтесь очевидной ортонормированной системой = <а~ = ел dr, <D$ = rd0, (о* = г sin 0 йф
для шварцшильдовскои метрики
ds2= — ейф dt2 + е2А dr2 + г2 (dO2+sin2 0 dфг)t (14.41)
в которой Ф и А являются функциями одного только г, и вычи слите формы кривизны ^ q и тензор Эйнштейна (?** ~ методом,
AA л I4Zfk
описанным в дополнении 14.5. [Ответ: 91 =Em Дюг, $ =
= ?<о*Дю§, Я** =Erni f\v>*, ЯВ*=Ло5Д<о*, %*7=F<o* /\®\ = Fetr /\&®, где
?= —Є-2А(ф» + ф'2_ф*Л')і
?= -і-е-глф^
F = le-2AA';
Г ’
(14.42)
(14.43)
<?| = -(/Ч2І0,
С$--(/Ч-2Я).
-(* + * + *).
14.14. Матричное представление компонент тензора Римана
Воспользовавшись симметриями тензора Римана, обоснуйте представление его компонент в ортонормированной системе в виде матрицы
01 / !
02/ E H
- 231 --------^--------------------I • <14-44>
Si -нТ
§ 14.6. Вычисление кривизнM 435
у которой строчки помечены парами индексов (xv = 01 ^ 02 и т. д. в указанном порядке и точно так же помечены столбцы ар. Здесь E, F и H — все матрицы З X 3, у которых (почему?)
E = Er, F = Ft, след H = O; (14.45)
здесь через Et обозначена транспонированная матрица Е.
14.15. Матрица Римана с нулевым тензором Эйнштейна
Покажите, что уравнения Эйнштейна для пустого пространства = 0 позволяют упростить матрицу (14.44) и привести ее к виду
Щт-> ti^
где теперь кроме равенства E = F, которое предполагает данный вид матрицы, выполняются также условия
след E= 0, H = НТ. (14.47)
14.16. Вычисление кривиэны для нулъсирующей и коллапсирующей звезды
Сферически симметричное движение самогравитирующих тел рассмотрено в гл. 26 и 32. Часто принимается, что метрика в данной ситуации имеет форму
Clst= — ег<ь йТг -f е2А dR*+г2 (dQ2 + sin2 6 dp), (14.48)
где Ф, Air являются уже функциями двух координат RnT. Найдите 2-формы кривизны и тензор Эйнштейна для этой метрики с помощью метода дополнения 14.5. При угадывании <o**v большинство членов можно указать сразу, исходя из соответствующей процедуры упражнения 14.13. [Ответ: В очевидной ортонормированной системе <от = ефйТ, &% = eAiR, <o$ = rd0, <о* = rsin0d<?:
Kffi = Etof
Ят g = Etor Д ю0 + Н<я* Д <о0, я? 9 - Etof А А©*,
Я® S = Fm6 /\ю5-Hmf /\©5 Я*? = ?®*-Htaf /\&*,
(14.49)
28*
2
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
436 14. Вычисление кривизны,
что в матричном представлении упражнения 14.14 принимает вид
>l»v
«IP
IE - • . . .\ TR
. E • • H TQ
. E • -H • Тф
• • • F . . 0 ф
• H • F • фЯ
\. -H • . . fJ Rd
(14.50)
Здесь
Е = е~2®(Л + Л2—ЛФ)—e-гл (ф' + ф«_ ф'Л'), І = ± Є-2Ф (г— гф) —— е-*Аг«ф«
Г 'Г
H=і. е-ф-л (Р*_^Ф'_ г'Л),
1
(14.51)
F = -і- (1 — г'2е-2Л 4- г%-2®),
?=1 е- 2«УЛ+-J- е-2А (TtA'—г"). Тензор Эйнштейна равен
Gtt = - G1f = F+2/?,
Gfi8 = Gfi
.2 Я,
.Gr^-O,
(14.52)
G%- -(2^ + /0.
e8s=e*?«-(?+?+*¦),
14.17. Тождество Бианки в виде dj?? =* О
Положите по определению, что тензор Римана представляет собой
2-форму, значением которой является бивектор
(14.53)
п вычислите AM, откуда должно выясниться, что A# = 0. Воспользуйтесь соотношением
^v =
(14.54)
§ 14.6. Вычисление кривизны 437
2
которое легко получить в ортонормированной системе (этого достаточно для доказательства AM = 0), а также в произвольной системе (хорошая проверка приобретенных навыков), где Jiliv = JltlaSev и d^v = —g1** (Agap) gpv (почему?). [Примечание. Для определения знаков в правиле дифференцирования произведения (14.13) для d играют роль лишь косые произведения форм (но не векторов).]
14.18. Локальное сохранение энергии и импульса: d*T = 0 означает V>T = 0
Положим, что оператор дуальности (*), определенный для внешних дифференциальных форм в дополнении 4.1, действует на формы, но не на контравариантные векторы, которые появляются, когда тензор энергии-импульса T или тензор Эйнштейна в записывается
в смешанном виде тензора ранга
T=B11TV
или
8 = BuGtivOv.
а. Приведите выражение для *Т (или *б), разложенного по базисным векторам и формам.
б. Покажите, что
•Т-BllTlllVSv,
где cP2v= ev|apvi<i)“ Д Д ftJv [ем. дополнение 5.4 и соотноше-
ния (8.10)].
в. Вычислите d*T, воспользовавшись обобщенной внешней производной d; покажите, что
d*T=B^liv1V VJJl ®° А ©‘А ©2А ю3*
Дополнение 14.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ С ПОМОЩЬЮ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ (МЕТРИКА КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Фридмановская метрика
ds2 = —dt2 -j- a2 (t) [dx2 + sin2 % (d62 + sin2 6dtf>2)]
