Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(15.8), переводя слова шаг за шагом на язык формул. Найдем количество момента поворота,# рождаемого в элементарном 4-кубе Q:
(
момент
поворота
) = *(d55A^2) = B0GaxfI3Zx. (15.19)
определение
t
шаг 1 шаг 2
шаг 3
шаг 4
§ 15.6. Сохранение момента поворота в дифференциальной форме 455
2
восемь шесть граней, граничных ограничивающих 3-кубов данный 3-куб
восемь
2
шаг 5
Здесь первый шаг представляет собой теорему Стокса. Второй шаг сводится к соотношению (15.19) между тензором Эйнштейна и моментом поворота. На третьем шаге интеграл по всей границе 3Q разбивается на интегралы по отдельным 3-кубам, из которых состоит эта граница. Во всех этих интегралах, к тому же, звездочка* трактуется как постоянная и выносится из-под знака интеграла. Причина этого достаточно проста: операция дуальности * затрагивает только метрику, а метрика локально постоянна по всему бесконечно малому 4-кубу, по границе которого берется интеграл. На шаге 4 использована формула
и теорема Стокса, позволяющая выразить каждый интеграл по 3-кубу в виде интеграла от & f\3l по двумерной границе этого куба. Пятый шаг является заключительным. Он никак не связан с подынтегральной функцией. Он основан лишь на принципе
Выражаясь кратко, сохранение момента поворота есть следствие двух обстоятельств. 1. Момент поворота, присущий произвольному элементарному 3-кубу, по определению представляет собой суммарное значение, полученное сложением шести моментов поворота, соответствующих шести граням этого куба. 2. Складывая в (15.20) эти суммарные значения для всех восьми 3-кубов, из которых состоит граница элементарного 4-куба Q, мы учитываем вклад каждой данной 2-грани дважды: один раз — с одним знаком, а другой раз — с противоположным знаком. Таким образом, в силу принципа «граница границы равна нулю» сохранение момента поворота представляет собой тождество.
§ 15.6. СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ПОВОРОТА,
ВЫРАЖЕННОЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Каждый закон сохранения, сформулированный в интегральном 2) ¦» ««= о виде, может быть переформулирован в дифференциальном виде, и сохранение момента поворота не является исключением. В этом случае выкладки не занимают много места. Найдем обобщенную
дд = 0.
2
456 15. Тождества Бианки и граница границы
внешнюю производную от момента поворота втри этапа и покажем, что она обращается в нуль:
d*G = d [* (di^A^?)] = j этап I
-*ІІ(І#ЛЛИ- 1 этап 2
= O } этап ^
На первом этапе использовано соотношение d* = *d. Звездочка оператора дуальности и обобщенная внешняя производная коммутируют, поскольку d, примененный к контравариантному вектору, действует как ковариантная производная, а * не оказывает никакого действия на ковариантные векторы, т. е. 1-формы. Второй этап сводится к применению стандартного правила для действия на произведение тензорнозначных форм [см. соотношение (14.136)]. На третьем этапе речь идет о двух слагаемых. Первое слагаемое обращается в нуль, так как в нем равен нулю первый сомножитель, т. е. d2^ = 0 [структурное уравнение Картана; выражает «отсутствие кручения» у ковариантной производной; Cm. соотношение (14.26)]. Второе слагаемое тоже равно нулю в нашем случае, поскольку в нем равен нулю второй сомножитель, т. е. AM = 0 (полное тождество Бианки). В этом и состоит доказательство сохранения момента поворота, оказавшееся столь коротким.
Дополнение 15.2. ИСТОЧНИК ГРАВИТАЦИИ И МОМЕНТ ПОВОРОТА — ДВЕ ОСНОВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ;
ИХ НАИБОЛЕЕ УДОБНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Энергия-импульс как источник Момент поворота как
гравитации (кривизны автоматически сохраняющаяся
пространства-времени) характеристика геометрии
Представление в виде вектор-йозначной 3-формы — независящего от координат геометрического объекта
Машина, позволяющая сказать, сколько энергии-импульса содержится в элементарном 3-объеме:
*Т = ваТ°Ч32 х («дуальный тензор энергии-импульса»)
Машина, позволяющая сказать, какое количество полного момента поворота (выраженного в виде вектора) получается прн сложении шести моментов поворота, соответствующих шести граням элементарного 3-куба: * (d^° Д^)= *8 =
(«дуальный тензор Эйнштейна»)
Представление в виде тензора Сам тензор энергии-им- Сам тензор Эйнштейна (J) (тоже независящий от коор- пульса а _ e/jot.
динат геометрический объект) T = ваГ^е-с
§ 15.1. От сохранения момента поворота к геометродинамике 457
Энергяя-ямпульс как источник гравитации (кривизны пространства-времен и) Момент поворота как автоматически сохраняющаяся характеристика геометрии
Представление на языке компонент (величины, зависящие от системы координат) y<JT QOT
-Закон сохранения на языке компонент 1 * Il О GCTT; X=O
Закон сохранения на абстрактном языке для тензора (J) V-T = O V-B = O
Закон сохранения на абстрактном языке, выраженный через внешнюю производную от дуального тензора (векторнозначной 3-формы) d*T = 0 d*e = 0, или d* (d#> Л .$) = 0
Тот же закон сохранения, выраженный в интегральной фор- .(,т-° I *в = 0, или
ме для элемента 4-объема dQ еа * j (d^° Д 9і) = 0, или 0Q * С (^ д.%) s о ода
