Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 14.4. Метод геодезического лагранжиана 419
2
тельных затрат». Метод «геодезического лагранжиана» дает экономичный способ нахождения T11ap. Метод, основанный на «2-формах кривизны», связан с полной перестройкой всей схемы и позволяет вычислить как связность, так и кривизну.
Метод геодезического лагранжиана лишь ненамного улучшает стандартный метод, но зато он требует довольно скромных затрат времени на изучение вариационного исчисления — затрат, которые так или иначе окупаются в других проблемах математики и физики. В отличие от него метод 2-форм кривизны гораздо эффективнее, HO зато требует гораздо больших затрат времени, связанных с изучением математики 1-форм и 2-форм, чем считается необходимым в рамках обычного вводпого курса по теории относительности. Однако каждый, кому предстоит многодневная работа по вычислению кривизны, поступит правильно, если изучит алгоритм, основанный на 2-формах кривизны.
Обычно считается, что коэффициенты связностн Г**ар должны быть известны до того, как записывается уравнение геодезических
(Здесь и ниже точка означает дифференцирование по аффинному параметру А,.) Однако такой ход рассуждений можно обратить. Выписав уравнения геодезических, можно затем из них найти коэффициенты связности. Например, на 2-сфере, рассмотренной в дополнении 14.2, уравнения геодезических имеют вид
Из первого уравнения видно, что Гефф = —sin 0 cos 0; из второго уравнения видно, что Гффе = Гфеф = ctg 0; отсутствие каких-либо других членов показывает, что все остальные коэффициенты Г%, равны нулю.
Первый основной принцип, таким образом, ясен: наличие уравнения геодезических, записанного в явном виде, эквивалентно знапию всех коэффициентов связности TflaP-
Второй принцип утверждает нечто большее: уравнение геодезических можно написать, не вычисляя Tflap. Чтобы получить уравнение геодезических, нужно лишь вспомнить (см. дополнение 13.3), что геодезической является параметризованная кривая, на которой интеграл
I) метод
геодезического
лагранжиана
2) метод 2-форм кривизны
§ 14.4. МЕТОД ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ЛАГРАНЖИАНА
х» + Т^раЛгР = 0.
(14.8)
(14.90)
(14.9ф)
?+2 ctg 0^0 = 0.
I = \ j gvvxpx* d\
(14,10)
27*
2
420 14. Вычисление кривизни
4 этапа метода
геодезического
лагранжиана:
1) записываем I в простой форме
2) варьируем I и получаем уравнение геодезических
3) паходим
4) вычиоля-
H т. д.
стандартным
методом
УПРАЖНЕНИЕ
достигает экстремума в том смысле, что
6/ = 0.
Когда этот вариационный принцип применяется на практике, первый этап состоит в том, чтобы, переписать выражение (14.10) в самом простом возможном виде, подставив конкретные значения g^v для решаемой задачи. Ёсли интерес представляют лишь сами геодезические, то многие интегралы движения можно выписать уже на этом этапе, даже не проводя варьирования (см. гл. 25, где рассмотрено движение по геодезическим в шварцшильдовской геометрии, в особенности § 25.2, посвященный законам сохранения и интегралам движения). Чтобы вычислить Г>*ар, необходимо про-варьировать каждую координату по очереди и получить четыре уравнения. Затем эти уравнения нужяо преобразовать к такому
• •
виду, когда на первом месте стоят члены х**. В этой форме они должны в точности представлять собой уравнения геодезических (14.8). Следовательно, можно сразу же выписать Ttiap, которые являются коэффициентами в этих четырех уравнениях. Завершающий этап вычисления кривизны этим методом совпадает с аналогичным этапом в стандартном методе, использующим формулы вида R ~ <?Г + ГГ, которые выписываются обычным образом (дополнение 14.2); как только возникает необходимость в данном Г, его можно легко найти, просмотрев уравнения геодезических. Данная процедура легче всего усваивается на конкретном примере, и такой пример приведен в дополнении 14.4.
14.4. Вывод уравнений Эйнштейна дня закрытого фридманов-ского мира при помощи метода геодезического лагранжиана
Линейный элемент, который представляет интерес в данном случае, имеет вид (см. гл. 27)
ds2 = —dt4 + а* (t) [dy* -(- sin2 % (^2 + Qdfi2)].
а. Запишите вариационный интеграл (14.10) для геодезических в этой метрике, затем последовательно проварьируйте t, %, 0 и ф; в результате после некоторой перегруппировки членов
• * • •
получатся четыре уравнения 0 = 4 + ...,0 = % + . и т. д., выражающие коэффициенты Г в форме (14.8).
б. Используя такое представление в качестве таблицы коэффициентов Г, вычислите RtXlIVaRxBtlVt из которых отличны от нуля только RtXtx и Rhxe (следствие полной эквивалентности всех направлений, касательных к сфере %&ф).
в. Перейдите к ортонормированной системе с ю* = d?, о>* = = аі%, о®=» ?, «>* = ? и вычислите в ней R‘*t~? и R*^Объ-
§ 14.4. Метод геодезического лагранжиана 421
2
ясните, как можно, воспользовавшись симметрией, выразить все остальвые компоненты через эти две.
г. Воспользовавшись соотношениями (14.7), найдите все независимые компоненты тензора Эйнштейна . (Ответ: см. дополнение 14.5.)
