Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
При вычислениях нужно знать не только систему координат, HO и ее метрические коэффициенты и коэффициенты связности. К счастью, и Г® ру необходимо знать лишь на мировой линии наблюдателя, где они имеют особенно простой вид. Только совсем неопытный наблюдатель будет пытаться использовать свою собственную систему отсчета вдали от своей мировой линии, где его решетка перестает быть ортонормированной и линии решетки, являющиеся геодезическими, могут даже пересекаться! (Cm. § 6.3.)
Вдоль мировой линии наблюдателя Si0 (т) базисные векторы его координатной решетки всюду совпадают (по построению) с его ортонормированной тетрадой
(13.66)
и, следовательно! метрические коэффициенты равны
8а р “ в« • вр = tI^ ““ДУ вдоль «‘о (*)• (13.67)
Некоторые из коэффициентов связности определяются законом переноса (13.60) ортонормированной тетрады наблюдателя:
VuBi = Vff в,; Таким образом,
¦нТ*<
гр_^= -J
SiO (T).
iff = -Mi всюду вдоль
Поскольку S2 имеет вид (13.61), а 4-скорость и 4-ускорение наблюдателя в его собственной системе обладают компонентами Mff = = —I, Uf =0, aff =0, эти коэффициенты связности равны
Л S “ S о = 0»
JS'
'iSff = rJSJ=-wleOt Ti
всюду вдоль SiH (T).
(13.09а)
Остальные коэффициенты связности можно найти из уравнения геодезических, описывающего геодезические S [т, п, s], выходя щие с мировой линии наблюдателя. Согласно соотношению (13.65), координатное представление каждой такой геодезической имеет вил
Л л А
JfO (s) = T= const, Xі (S) = TliS,
2fi*
2
Коэффяциитн
СВЯ8НОЄТИ вдоль мировой ЛЮІ
наблюдателя
(13.68)
2
Merpan
собственной
системы отем
¦ ее «нтерпрвтацаа
404 13. Риманова геометрия
откуда видим, что Ci2Xot /ds2 =» 0 всюду вдоль геодезических, и уравнение геодезических принимает вид
dJ dx?
0 =
d2*“
I А Au
Г*.>?П*И*.
J Л
ds2 Э V ds ds
Этому уравнению можно удовлетворить на мировой линии наблюдателя для всех пространственных геодезических (при всех Tli ) тогда и только тогда, когда
r“;? = r?j.g = 0 всюду вдоль P0(т). (13.696)
Значения коэффициентов связности (13.69) однозначно определяют частные производные метрических коэффициентов [см. уравнение (13.19')]:
?*j, О gJk і “0, 1
0 7 > всюду вдоль ^o(X). (13.70)
Эти производные вместе с условием ортонормированности ^op (т)^ = tIop позволяют записать линейный элемент вблизи мировой линии наблюдателя в виде
ds2== —(1 -(-2а->х*) dz°a— 2(ej?jX*a)‘) dx^dx* 4*
-\-bndxUxi+0(\x''j \z) d&dxP. (13.71)
Некоторые особенности этого линейного элемента заслуживают особого упоминания.
1. На мировой линии наблюдателя P0 (т), т. е. при J = О, dsa = TJapdxFdxb.
2. Ускорение наблюдателя проявляется в поправке к
6g6g = — 2а-х, (13.72а)
которая пропорциональна расстоянию вдоль направления ускорения. В случае плоского пространства-времени этот поправочный член получен в § 6.6.
3. Поворот наблюдателя по отношению к гироскопам инерционной системы управления проявляется в поправке к gg которую можно переписать в трехмерных векторных обозначениях:
SggJeJ,= — ххю=* 4-юхх. (13.726)
4. На эти поправки первого порядка к линейному элементу
никак не влияет кривизна пространства-времени, и они не несут никакой информации о кривизне. Кривизна начинает проявляться лишь во втором порядке О (| х^ I*).
5. В частном случае нулевого ускорения и нулевого вращения
(а = о = 0) собственная система отсчета наблюдателя сводится
§ 18.6. Собственная система отсчета ускоренного наблюдателя 405
А
к локально лоренцевой системе (g-g = iHap, Г“^ ~ = 0) повсюду вдоль его геодезической мировой линии! В отличие от этого локально лоренцевы системы координат, построенные в ходе предыдущего изложения (локально лоренцевы координаты «в общем виде» в § 8.6, «нормальные римановы координаты» в § 11.6), являются локально лоренцевыми лишь в единственном событии.
В случае нулевого вращения и нулевого ускорения можно получить следующее выражение для метрики, содержащее члены второго порядка по | Xі
(-1 -Rst s~a#x™) dt*-Rsu x^dtdafi +
5TS—TR it Tmxlxik) d** + ° ( 1« f)dxa dx$ (13.73)
(см., например, [156]). Здесь —компоненты тензора Римана
вдоль мировой линии х? = 0. Такие координаты называются «нормальными координатами Ферми».
13.14. Силы инерции и силы Кориолиса
Ускоренный наблюдатель исследует траекторию свободно падаю щей частицы в момент, когда она пролетает через начало его соб ственной системы отсчета. Пусть
V s= (dx$/dx°) Bj (13.74)
— обычная скорость частицы. Покажите, что ее обычное ускорение по отношению к собственной системе отсчета наблюдателя равно
-2-?Ї-Ві= -a—2<axv + 2(a-v)v. (13.75)
dx ft t
, і1 грелятивистская
ускорение инерции]-! ,-------!-----, И поправка к уско-
ускорение Lрению инерции Кориолиса
Здесь а — собственное 4-ускорение наблюдателя, а в» — угловая скорость, с которой вращаются пространственные базисные векторы [см. соотношения (13.62)]. [Указание. Воспользуйтесь урап-
* ..
