Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 153

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 180 >> Следующая

§ 14.1. Криаиано дает вогможность понять фиаику 409

2

на первом месте по сравнению с техническими навыками. Однако ^Ц^ныВе

ЭТО скучный способ, более ПОДХОДЯЩИЙ ДЛЯ вычислительной маши- О помощью

т-» — вычислительной

ны, чем для человека. Вычислительная машина может справиться даже с алгеброй (см. дополнение 14.3).

14.1. Кривизна двумерного гиперболоида упражнения

Вычислите кривизну гиперболоида t* — X2 — У2 = T2 = const в 2 + 1-мерном пространстве-времени Минковского, где (Ist3 —

= —dt* + dx* + dy2. Покажите сначала, что интервалы на этой двумерной поверхности при соответствующем выборе координат а, ф на гиперболоиде могут быть выражены в виде ds2 = Tt (da2 +

+ sh*ad^*).

14.2. Выражение римановой кривизны через кривизну Риччи в случае двух и трех измерений

В случае двух измерений есть только одна независимая компонента кривизны Riili. Ясно, что ту же самую информацию можно

передать одной скалярной величиной R. Двумерное тождество

¦ftiivap = Ej # (gnagvp — gjip?va)» можно установить, если заме-

тить, что это единственное тензорное выражение, образованное только с помощью R и метрики, которое задает RtxvaP в виде линейной функции R и свертка которого имеет правильное значение Rliviiv = R. Установите соответствующее трехмерное тождество, выражающее Rtjki через тензор Риччи Rjh и метрику.

14.3. Кривизна 3-сферы в ортонормированной системе

Вычислите тензор кривизны 3-сферы

ds* = a2 [dx* + sin* % (d0® + sin* Gd^*)] (14.2)

и 3-гиперболоида

ds* = a* [d%2 + sh2 % (d02 + sin* Gd^*)]. (14.3)

Преобразуйте компоненты в координатном базисе RiJki к соответствующему ортонормированному базису, где они записываются Rif Представьте Ri^ = R^ і ^ ^ в виде матрицы З X 3 с соот-

ветствующим образом пронумерованными строками и столбцами.

Дополлевне 14.1. РЕТРОСПЕКТИВВЫЙ ВЗГЛЯД BA КРИВИЗНУ

1. Исторически отправной точкой является кривая линия на плоскости. He существует никакого способа определить кривизну линии с помощью измерений, проводимых на самой линии («внутренних» измерений). Для этого нужно, например, знать азимутальный угол 0 касательного вектора по отношению к некоторому фиксированному направлению в плоскости как функцию собственной длины
2

410 14. Вычисление кривизны

кривой s, т. е. 0 = 0 (s). Тогда кривизна ус и обратная ей величина — радиус кривизны р — задаются выражением х (s) = 1/р (s) = dQ (s)/ds. С другой стороны, можно измерить отклонение у от касательной в перпендикулярном к ней направлении как функцию расстояния х вдоль этой касательной; тогда х = 1/р = (Py/dx*.

2. Это понятие >ыло впоследствии распространено на случай искривленной поверхности, погруженной в плоское (эвклидово) 3-пространство. Отклонение z гладкой искривленной Направление, от которого поверхности от плоской поверхности, касатель-

отсчитывается азимутальный угол ной к пей в данной точке, описывается в окрестности этой точки квадратичным выражением

z = 4rax2 + bxy + Y су2.

Поворотом осей на ооответствующий угол а,

x = l cos а + Л sin а, у = — ? sin а -J- П c»s а, это выражение приводится к виду

где '= T Xl^2+T ХгТ*г’

*i = I/Pit = і/рг представляют совий две «главные кривизны» поверхности.

3. Гаусс [1581 начал разрабатывать идею о том, как определить кривизну с помощью измерений, проводимых исключительно на самой поверхности («обществом муравьев»). Из данной точки Sft на поверхности проведем отрезок геодезической этой поверхности собственной длины 8, измеренной на самой поверхности. Повторим этот процесс для одной и той же исходной точки, но для разных направлений выхода геодезических. Получим бесконечное число точек, образующих «окружность». Найдем ее собственную длину опять с помощью измерений, проводимых исключительно на самой поверхности. Результат такого «внутреннего измерения» можно вычислить с помощью метрики, соответствующей данному погружению:

ds2 = dz2 -J- dt? -J- drf (эвклидово 3-пространство),

=а [(xt?d|-l-X2Tjdq)2-J-(d|2-J-dq2)] (внутренняя метрика искривленной

2-геометрии).

Проведя соответствующие выкладки, мы увидим, что длина окружности отличается от эвклидова значения 2яв на относительную величину, пропорциональную квадрату е, а именно

С !)•

Обратим особое внимание на первый знак равенства. Гаусс не скрывал радости, которую он испытал, обнаружив, что нечто, определяемое исключительно изме-
§ 14.1. Кривизна дает возможность понять физику 411

2

рениями на самой поверхности, совпадает с произведением двух величин X1 и хг, для определения каждой И8 которых по отдельности нужны измерения, внешние по отношению к этой поверхности.

4. Различие между «внешней» и «внутренней» кривизнами можно подытожить следующим образом1

(внешняя кривизна) = X = (Jt1 + X2) (CM-1),

внутренняя, или \ _ , 2.

гауссова кривизна/ 1 2 ' '

(последняя величина совпадаеі с инвариантом скалярной кривизны 2-геометрии R, уменьшенным вдвое). Начертим на плоском листе бумаги треугольник со сторонами 3:4:5; свернем бумагу в трубку. Такой изгиб оставляет внутреннюю эвклидову 2-геометрию листа бумаги неизменной. Внутренняя гауссова кривизна поверхности тоже не меняется; она сохраняет свое нулевое эвклидово значение (х2 не равно нулю, X1 равно нулю; произведение X1X2 равно нулю). Однако внешняя N
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed