Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
FORMAC оперирует с алгебраическими выражениями, включающими: числовые константы, например 1/3; символические константы, например х или и; некоторые элементарные функции, например sin (и) или ехр (ж); символические функции нескольких переменных, например / (х, и) или g (и). Этот язык позволяет, например, сложить ах -J- Ьх2 с 2х -J- (3 -J- Ь) х* и получить (a -J- 2) х + (3 -J- 2Ь) ж*; он позволяет найти частную производную от выражения x*uf (х, и) -J- cos х по х в виде
2xuf(x, и) -J- XtUdf (х, и)1дх — sin (х).
§ 14.2. Нахождение тензора Эйнштейна 417
2
Он позволяет выполнить на машине все алгебраические операции и все операции дифференциального исчисления, которые может выполнить человек, HO при этом не допускает ошибок! К сожалению, с его помощью нельзя выполнить аналитическое интегрирование: логически интегрирование представляет собой не дедуктивную, а индуктивную операцию.
Язык PL/1 может использоваться как одновременно с языком FORMAC, так и независимо от него. PL/1 оперирует с цепочками символов, например Z/l X 29—f-/. В нем заложена логика символов; он позволяет установить тождественность двух цепочек; с его помощью в цепочки можно вводить новые символы и убирать старые; но в нем не заложены правила алгебры и дифференциального исчисления. Поэтому он используется в основном как приложение к языку FORMAC (хотя с точки зрения обеспечения вычислительных машин FORMAC является приложением к PL/1).
Существует целый ряд программ на языке FORMAC для нахождения тензора Эйнштейна по заданным компонентам метрики и для других вычислений, созданных многочисленными предыдущими исследователями (см., например, [165—167]). Однако программирование на языке FORMAC не представляет особого труда, поэтому для каждой данной задачи обычно пишется своя собственная программа. При этом могут возникнуть трудности, связанные с тем, что для выполнения всех аналитических преобразований не хватает оперативной памяти машины. Например, продифференцировав несколько раз выражение, умещающееся на половине странички, можно получить в результате столь громоздкое выражение, что для него не хватит памяти ни одной из существующих машині
Исследователи, программирующие на языке FORMAC, перед которыми встает проблема памяти, при решении своих задач пользуются несколькими различными приемами. Один из них сводится к удалению из памяти ненужных частей программы и системы FORMAC. Для этой цели, например, Клеменс и Матцнер [168] создали процедуры PURGE и KILL. Другой прием состоит в том, чтобы получать ответ данной вычислительной процедуры по частям, имеющим допустимый объем, и выводить эти части из оперативной памяти на дисковую память. Затем эти части необходимо соединить вместе — задача, которую невозможно решить с помощью одного только языка FORMAC и даже с помощью комбинации FORMAC и PL/1; однако Хартл справился с этой задачей (см. [1691), используя FORMAC, PL/1 и процедуры оперирования данными на машинах IBM под названием SORT.
Согласно Эйнштейну, распределение материи в пространстве не позволяет сразу же во всех подробностях описать локальную кривизну пространства. Тензор энергии-импульса дает информацию только о некоторой комбинации компонент тензора кривизны Римана — комбинации, которая образует тензор Эйнштейна.
В гл. 13 описаны два эквивалентных способа нахождения тензора три способа
к и и Jv т> нахождения
Эйнштейна: 1) последовательным свертыванием тензора Римана: тендера
§ 14.2. НАХОЖДЕНИЕ ТЕНЗОРА ЭЙНШТЕЙНА
Rjlv — R Itavt R — S^vRIivi
4
(14.4)
Эйнштейна из тензора Римана
27-01457
2
418 <74* Вычисление кривизны
Стандартный метод вычисления кривизны и епроизводителеи
Методы, позволяющие избавиться от «непроизводительных затрат»:
[соотношения (13.48) и (13.49)] и 2) образованием тензора, дуального тензору Римана, с последующей сверткой:
ва?6 S (*Д*)аРГв = Єар^Д1М|ро|ЄЄ^ = _ бР°Л*Р^Д1М|рс|, '(14.5а)
Gp6 = Capf (14.56)
[соотношения (13.46) и (13.47)]. Третий способ, который, как правило, лучше обоих предыдущих, получается объединением (14.5а) и (14.56):
Gpe = G-P= -SepVfillivlIp0,. (14.6)
[Примечание. В любой системе отсчета, как в ортонормированной, так и в неортонормированной, тензор перестановок SeP0ptlv имеет компоненты
{+1, если бра — четная перестановка Pfiv;
— 1, если бра —нечетная перестановка Pjxv;
О во всех остальных случаях;
чтобы убедиться в этом, нужно просто вычислить 6®P°p(iv, воспользовавшись определением (З.БОз) и компонентами BapuvHepave из (8.10).] Выражение (14.6) для тензора Эйнштейна, выписанное в явном виде, гласит
GO0 = _(Д1212 + RKia + R3131),
GS = -(Roi02 + R0303 + Ri323),
G01 = R02li + R03 із, (14.7)
GK = R1020 + ^1323
її т. д.; каждая последующая компонента определяется аналогичной формулой, которую можно получить с помощью очевидной перестановки индексов.
§ 14.3. БОЛЕЕ ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ
Если ответ задачи пли результат вычислений не прост, то его нельзя получить простым способом. Ho если громоздкие вычисления приводят к короткому ответу, то нужно попытаться улучшить метод расчета. Во многих хорошо известных приложениях общей теории относительности метрика пмеет такой вид, что многие компоненты gpy, I>ap и fi^vap обращаются в нуль; во всех этих случаях нахождение кривизны стандартным методом (дополнение 14.2) связано с большим количеством «непроизводительных затрат». Приходится вычислять многие из Ttiap, которые оказываются равными нулю. Приходится проверять множество слагаемых типа — Г%рГРа(1, равных нулю, либо сокращать их с другими такими же членами. Существуют две другие процедуры, позволяющие частично избавиться от этих «непроизводи-
