Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
иением геодезических для траектории частицы в точке х} = U Примечание. В плоском пространстве-времени этот результат был получен иным способом в упражнении 6.8.]
13.15. Группа вращений: метрика
2
УПРАЖНЕНИЯ
(Продолжение упражнений 9.13, 9.14, 10.17 и 11.12.) Покажите, что в случае многообразия группы вращений SO{3) существует метрика д, совместная с ковариантной производной V. Дока-
2
406 13. Риманова геометрия
УПРАЖНЕНИЯ
жите существование, выписав компоненты метрики в явном виде в некоординатном базисе генераторов {еа}. [Ответ.'.
ga 0=6*3. (13.76)
Другими словами: если постулировать, что 1) многообразие группы вращений локально эвклидово, 2) генераторы инфинитезималь-ных вращений {ва} ортонормированы 6а'Op = Sap и 3) {еа} подчиняются обычным коммутационным соотношениям группы вращений
]ва» 8fj] = — (13.77)
то получающиеся при этом геодезические SO(3) совпадают с кривыми, выбранными в качестве геодезических в упражнении 10.17.]
14. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ
Эта глава целиком относится к курсу 2.
Необходимым подготовительным материалом для § 14.5, 14.6 являются гл. 4 (дифференциальные формы) и главы 10, 11 и 13.
Эта глава нужна в качестве подготовительного материала для гл. 15 (тождества Бианки). Она полезна во многих приложениях теории гравитации (главы 23—40).
§ 14J. КРИВИЗНА — ИНСТРУМЕНТ, КОТОРЫЙ ДАЕТ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОНЯТЬ ФИЗИКУ
Знание элементарно и физики иногда позволяет нам избежать систематических расчетов, связанных с нахождением кривизна (например, частота колебаний пробной частицы; ускорение приливного воздействия вблизи тяготеющего центра; кривизна модели закрытого мира, имеющего вид 3-сферы; действие параллельного переноса на гироскоп илп вектор; см. фиг. 1.1, 1.10 и 1.12 и дополнения 1.6 и 1.7); но в других случаях вычисление кривизны позволяет кратчайшим путем проникнуть в физику явлений. Эта глава предназначена как раз для таких случаев. В ней описаны три способа нахождения кривизны и приведены компоненты тензора кривизны Эйнштейна для плоской гравитационной волны [дополнение 14.4, соотношение (5)], для геометрии фридмановского мира (дополнение 14.5) и для шварцшильдовской геометрии как в статическом (упражнение 14.13), так и в динамическом (упражнение 14.16) случаях.
Достаточно взглянуть на сложное выражение для 4-геометрии [157]
ds2=. — 0c/31/2L-f-y2/12L2)-3‘/2-(J Л|L)-1(_z/L)s-,/2<fc2 +
+ (x/3i,2L -f- у2/і2Ьг)1+з1'2 ( j -!^L)1+2/31/2 (_z/Lr1+s_t/a d** + + (s/31/aL+ya/12Z,a)2+s,/a ( j ?iLj t+2/31/2 (_z/L)-3-‘/2 dyi + + (x/3i,2L + y2/i2L2)3+3U2 ( j iyL)1+2/Si/2( —г/!,)-2-3-172 x X (dl=?-)"' (14.1)
2
408 14. Вычисление крививны
Ситуацш*, когда HMKtianHHO вычислять кривизну
«Стандартная
процедура»
вычисления
кривизны
Способы представлення формул кривизны
чтобы понять, что зная кривизну, можно гораздо лучше разобраться в физической ситуации. То же самое относится и к любым другим сложным выражениям для метрики, которые получаются в результате решения уравнений Эйнштейна или встречаются в литературе. В любом таком случае удобный метод часто состоит в том, чтобы сначала найти кривизну, а уж затем добиться понимания.
Кривизна является простейшей локальной мерой геометрических свойств (см. дополнение 14.1). Нахождение кривизны поэтому будет хорошим первым шагом на пути к построению более исчерпывающей картины изучаемого пространства-времени.
Иногда мы сначала получаем выражение для метрики пространства-времени, а затем, чтобы понять его, приступаем к нахождению кривизны. Ho чаще приходится сначала находить кривизну, на которую наложены определенные условия симметрии в пространстве и во времени, а затем с ее помощью отыскивать выраже ние для физически интересной метрики (звезды, гл. 23—26; космологические модели, гл. 27—30; коллапс и черные дыры, гл. 31— 34; гравитационные волны, гл. 35—37).
Основной «стандартный способ вычисления кривизны» иллюстрируется в дополнении 14.2. В этом дополнении одна за другой используются два типа полученных ранее формул. Первый тип формул [(1) и (2)] имеет вид Г ~ gdg и позволяет найти Tfjap. Второй тип формул (3) имеет вид R ~ ЗГ + Г* и позволяет найти компоненты тензора кривизны i?**vaP.
После того как компоненты тензора кривизны вычислены, результаты можно представить несколькими [ полезными способами.
1. Можно образовать тенвор Риччи Rliv =i?eMav и скалярную кривизну R = R11li. 2. Можно образовать другие инварианты, например RttvaPRa^uv 3. Можно найти компоненты Rllvв разумным образом выбранвой ортонормированной системе ю° = La р Arp.
4. Можно представить liv^sft в виДе матрицы 6x6 (в случае
четырех измерении; в случае же трех измерений в виде матрицы 3x3), в которой [|av] = [01], [02], [03], [23], [31], [12] обозначают строчки, а [ар] обозначают столбцы (упражнения 14.14 и 14.15). 5. Последний, но ваибслее важный в обшей теории относительности способ можно образовать тензор Эйнштейна
как это описано в § 14.2.
Способ в ычислений, основные черты которого перечислены выше и который подробно описан в дополнении 14.2, применяется во всех тех случаях, когда стандартным способом воспользоваться быстрее, чем изучить или придумать лучший способ. Стандартный способ всегда предпочтительнее для студентов, занимающихся по укороченной программе, когда физическое понимание стоит
