Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
координатной
решетки
для собственной системы
в шесть этапов
Закон переноса
тетрады
наблюдателя
упражнения 6.8 должны быть со всеми подробностями применимы и к искривленному пространству-времени. Тем не менее поучительно будет заново обсудить эти и некоторые новые детали, используя мощный математический аппарат последних глав.
Начнем с уточнения используемой координатной решетки. Излагаемый ниже метод описания этой решетки является, невидимому, наиболее естественным.
1. Пусть т — собственное время, измеренное по часам ускоренного наблюдателя (в приведенном выше примере — по часам, расположенным в центре кабины самолета). Пусть # = = <^о (т) — мировая линия наблюдателя, изображенная на фиг. 13.4,я.
2. Наблюдатель переносит с собой ортонормированную тет-РаДУ {в~} (фиг. 13.4,а), у которой
Og = U = (IZfi0Idx—4-скорость наблюдателя (13.58) (во—указывает «направление времени» наблюдателя) и
в,? ¦ в р = т]ар (13.59)
(ортонормированность).
3. Тетрада изменяется от точки к точке вдоль мировой линии наблюдателя (по отношению к параллельному переносу):
Vue^=-Sbei (13.60)
Qliv = а**цу — U11Ov -f- COpsaPiiv — «генератор инфинитезимального преобразования Лоренца» (13.61)
Этот закон переноса в искривленном пространстве-времени имеет тот же вид, что и в плоском (§ 6.5 и упражнение 6.8), поскольку кривизну можно почувствовать только на конечном расстоянии, но не на бесконечно малом расстоянии, которое входит в «первую скорость изменения вектора CO временем» (принцип эквивалентности). Как и в упражнении 6.8,
a = VuU-4 -ускорение наблюдателя,
угловая скорость вращения пространственных базисных векторов ej по отношению к векторам, испытывающим перенос Ферми—Уолкера, т. е. по отношению к гироскопам инерционной системы управления
й ¦ а = и о = 0.
Если ю равно нулю, то наблюдатель переносит свою тетраду переносом Ферми — Уолкера (подобно переносу оси гироскопа): Если аий) равны нулю, то он находится в состоянии
, (13.62)
§ 18.6. Собственная система отсчета ускоренного наблюдателя 401
2
ФИГ. 13.4.
Собственная система отсчета ускоренного наблюдателя, а — ортонормирования тетрада наблюдателя {в-}, переносимая вдоль его мировой линии (т) [закон переноса (13.60)].
6 — геодезические, выходящие из произвольного события (4) иа мировой линии наблюдателя перпендикулярно последней. Каждая геодезическая определяется однозначно 1) моментом собственного времени т, в который она испущена, и 2) направлением (единичным касательным вектором Л = did» = п* е ,, вдоль которого она испущена). Данное событие на геодезической фиксируется заданием т, пи собственного расстояния я от исходной точки геодезической; отсюда и обозначения & = § [т, п, я] для данного события. В собственной системе отсчета наблюдателя этому событию приписываются координаты ****($ [т, п, *]) = т,
J CS [т, п, *]) = т ’.
26-01457
402 13. Риманова геометрия
свободного падения (движение по геодезической) и переносит свою тетраду параллельным образом, Vue- = 0.
4. Наблюдатель строит свою собственную систему отсчета (локальную систему координат) аналогично тому, как в § 11.6 были построены нормальные римановы координаты. Из каждого события S10 (т) на своей мировой линии он проводит чисто пространственные геодезические (геодезические, ортогональные KU = IiSi0Idx), аффинный параметр которых совпадает с собственной длиной:
собственное время; указывает «исходную точку» геодезических
Si = & [т, п, в].
і
L
касательный вектор к геодезической в исходной точке; указывает, «которая» из геодезических
(13.63)
собственная длина, отсчитываемая вдоль геодезической от исходной точки; указывает, «где» на данной геодезической
(Cm. фиг. 13.4,6.) Касательный вектор имеет единичную длину, поскольку аффинным параметром является собственная длина:
п= (d$/ds)t=o, nP=(dx*/ds) вдоль геодезической,
_ _ _ / dx* \ Zttev \ ds* ,
П-П— ds ){ ds )~ — !•
5. Через каждое событие вблизи мировой линии наблюдателя проходит ровно одна геодезическая из семейства W [т, п, *]. [Вдали это не выполняется; геодезические могут пересекаться как из-за наличия у наблюдателя ускорения (см. фиг. 6.3), так и из-за кривизны пространства-времени («отклонение геодезических»).]
6. Возьмем событие Si вблизи мировой линии наблюдателя. Проходящая через него геодезическая берет свое начало на мировой линии наблюдателя в некоторый момент времени т. Исходное направление этой геодезической есть п = п’е |, а длина ее участка между исходной точкой на мировой линии наблюдателя и событием Si равна s. Тогда четыре числа
(г®, я*, х^, X3) = (х, s/7*, srfi, sn?) (13.65)
позволяют естественным образом идентифицировать событие аР. Они и есть координаты Si в собственной системе отсчета наблюдателя.
(13.64)
§ 18.6• Собственная система отсчета ускоренного наблюдателя 403
7. В более абстрактном виде эти координаты записываются как з?(§ [т, n, s]) = т,
х> (§ [т, п, *]) «= sri'i
-sn^ = snej.
(13.65')
В плоском пространстве-времени данная процедура и получающиеся координаты я® ((P) совпадают с процедурой и получающимися в результате координатами (Si) упражнения 6.8.
