Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
а. В отсутствие метрики полная совокупность условий симметрии для R включает Ra0v6 = Ra0ive] и Ra [Bvej = 0. Покажите, что в четырехмерном пространстве-времени эти соотношения уменьшают число независимых компонент от 4х4х4х4 = 256 до 4x4x6 — 4x4 = 96 — 16 = 80.
б. Покажите, что в га-мерном многообразии без метрики число независимых компонент равно
и3 (n — 1) п2 (и—1) (и—2) и2 (и2—1)
6 — 3
(13.53)
2
Тензор
Эйнштейна
Тензор
Риччи
Скалярная
кривизна
Конформный тензор Веііля
Тождества
Бнаики
УПРАЖНЕНИЯ
2
398 13. Риманова геометрия
УПРАЖНЕНИЯ
в. При наличии метрики полная совокупность условий симметрии состоит из BaevS = Л[ар] [?в] и Ra ГвV*] — О- Покажите, что в четырехмерном пространстве-времени они сводят число независимых компонент к 6 X 6 — 4 X 4 = 36 — 16 = 20.
г. Покажите, что в га-мерном многообразии с метрикой число независимых компонент равно
|- Mnpi) у_^п-тп-2) в JgigzlL. (13.54)
13.10. Симметрия R по отношению к перестановке пар индексов; обращение в нуль совершенно антисимметричной части
Из полной совокупности симметрий при наличии метрики /?аВмв = = ^[аВ] [V*] и Ra tevfl] = 0 выведите: а) симметрию по отношению к перестановке пар индексов Ла8ув = Ryiafi 11 б) обращение в нуль совершенно антисимметричной части Л[а8ув] = 0. Затем в) покажите, что следующие соотношения симметрии образуют полную систему:
Rafiy6 = Rl ар] [ув] = Ry6afi, R[ apvaj = 0. (13.55)
13.11. Дважды дуальный R тензор; тензор Эйнштейна G
а. Покажите, что €i — *R* содержит точно такое же количеств» информации, как и R, п удовлетворяет той же совокупности соотношений симметрии [(13.40), (13.41), (13.43)—(13.45)].
б. Исходя из симметрий -6 покажите, что тензор Эйнштейна [определенный СООТНОШеНИеМ (13.47)1 СИММеТрЦЧеН (G[Bi] = 0).
в. Покажите, что тождества Бианки (13.42), записанные через ¦6, принимают вид (13.51) («дивергенция равна нулю», V.?i == 0).
г. Свернув тождества Бианки V.?i = 0, покажите, что G имеет нулевую дивергенцию [соотношение (13.52)].
13.12. Связь тензоров Риччи и Эйнштейна
а. Воспользовавшись симметриями R, покажите, что тензор Риччи Re симметричен (/?[вв] = 0).
б. Покажите, что Re связан с G соотношением (13.49).
13.13. Конформный тензор Вейля W
а. Покажите, что конформный тензор Вейля (13.50) обладает теми же симметриями [(13.40), (13.41), (13.43)-(13.45)], что и тензор Римана.
б. Покажите, что тензор Вейля совершенно «не имеет следа», т. е. что
свертка CaPvS по любой паре каналов равна нулю. (13.56)
§ 13.6. Собственная система отсчета ускоренного наблюдателя 399
Таким образом, Capva можно считать той частью R, след которой равен нулю, а Ra6 можно считать следом R. Тензор R полностью определяется своим следом Ra$ и Cafiyi [см. соотношение (13.50); напомним, что R — RaaI.
в. Покажите, что в пространстве-вррмени W имеет 10 независимых компонент.
г. Покажите, что в и-мерном многообразии число независимых компонент W [определяемого соотношением (13.50) в модифицированной форме, сохраняющей (13.56)] равно
n2(n2 — I) n(n-|-l)
—~12— ---------— при ,г>3>
О при 71^3.
Таким образом, в многообразиях с одним, двумя и тремя измерениями тензор Вейля тождественно равен нулю и тензор Римана полностью определяется тензором Риччи.
§ 13.6. СОБСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА УСКОРЕННОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
Физик, ставящий эксперимент на реактивном самолете (например, эксперимент в инфракрасной астрономии), люжет пользоваться сразу несколькими различными системами координат. Ho особенно полезной оказывается система координат, покоящаяся по отношению ко всем приборам, привинченным к полу и стенам кабины самолета. Эта «собственная система отсчета» имеет прямоугольную решетку х, у, z, связанную со стенами кабины, и одни или более часы, покоящиеся относительно этой решетки. О том, что эта собственная система отсчета ускоряется по отношению к локально лоренцевым системам, физик знает из того, что ему не удастся свободно парить в кабине, или, с более высокой точностью, из показаний акселерометров. О том, что его собственная система отсчета поворачивается по отношению к локально лоренцевым системам, он знает по тому, что ощущает силы Кориолиса, или, с более высокой точностью, из поворотов осей гироскопов инерционной системы управления по отношению к стенам кабины.
В упражнении 6.8 проведено математическое рассмотрение такой ускоренной, вращающейся, но локально ортонормирован-ной системы отсчета в плоском пространстве-времепи. В этом параграфе то же самое делается для искривленного пространства-времени. В непосредственной близости от начала пространственной решетки xi =O (в области, столь мало протяженной в пространстве, что эффекты кривизны пренебрежимо малы) ни одно свойство системы координат не позволит сказать, является ли пространство-время плоским или искривленным. Следовательно, результаты
(13.57)
2
УПРАЖНЕНИЯ
Физическое описание собственной системы отсчета
2
400 13* Романова геометрия
Построение
