Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 144

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 180 >> Следующая


xa' = M\x» + ±N\vx»x'> + ±rPa>,vpAV+ . .

и, воспользовавшись матрицей преобразования La ^ = дха Idx^, выразите g^ (Si0), g^v, р (Si0) и g^, pa (^0) через ga.r, их производные и постоянные Matl, Naiiv, Paixvp. Покажите, что каковы бы ни были ga’fi' (но такие, чтобы соответствующая матрица была несингулярной и могли существовать g“'p'!), всегда можно выбрать 16 постоянных Mail так, чтобы ^liv = Titiv (десять условий); всегда можно выбрать 4x10 = 40 постоянных Nyiiv так, чтобы обратить в нуль 10x4 = 40 производных ^rliv, ,(Si0), но в общем случае нельзя выбрать 4 x 20 = 80 постоянных Paixvp так, чтобы обратить в нуль 10x10=100 производных gMV. pa.]

13.4. Следствия из совместности g и V

а. Из условия совместности Vg = 0 выведите правило дифференцирования произведения (13.20).

б. Из условия совместности Vg = 0 и определений (13.21) и (13.22) выведите выражение (13.23) для коэффициентов связности. (Ответ. Cm. упражнение 8.15, стр. 271.)
§ 13.4. Геодезические — мировые линии с экстрем, собств. временем 385

2

§ 13.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ - МИРОВЫЕ ЛИНИИ С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМ СОБСТВЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ

В локально лоренцевой системе прямую мировую линию легко отличить от непрямой. Выберем положение и ориептацию лоренцевой системы таким образом, чтобы исходная точка мировой линии Л лежала в начале координат, а конечная точка 98 имела координаты х — 0, у — 0, z = 0, t — Т. В качестве примера непрямой мировой линии рассмотрим перемещение с постоянной скоростью из Л в точку# с координатами Т, 0, 0,у R ) , а оттуда — опять

же с постоянной скоростью в точку 98. Промежуток собственного времени, истекший от начала до конца пути («длина мировой линии»), равен

т = (Г2 — Я2)*/2.

Таким образом, истекший промежуток собственного времени уменьшился по сравнению с тем значением, которое он имел при перемещении вдоль прямой линии, причем уменьшение происходит при любом значении

R, отличном от нуля (соответствующего прямой мировой линии). Как для этой простой ломаной линии, так и для любой другой непрямой линии справедливо следующее: промежуток собственного времени, истекший между Л и 98, всегда меньше, чем соответствующий промежуток вдоль прямой линии (упражнение 0.3). Таким образом, в плоском пространстве-времени экстремальная длина является признаком прямолинейности.

Любая локальная область искривленного пространства-вре-мени реального физического мира носит лоренцев характер. В этой локально лоренцевой геометрии не представляет труда ввести лоренцевы координаты и провести только что описанный анализ на экстремальность длины для выяснения того, является ли линия прямой или нет:

т= j dx = j ( — т\{Xvdx* dx'fl* = dif

_/максимум для прямой линии по сравнению\ ли 24Ї

— \ с любой другой мировой линией J ' ' ¦ '

Такую проверку прямолинейности можно осуществить в каждой локальной лоренцевой области вдоль мировой линии по отдельности или, что более эффективно, ее можно осуществить по всей совокупности локальных лоренцевых областей одновременно, т. е. в области, где конечные точки Л и 98 расположены так далеко

В плоском пространстве-времени прямые линии имеют экстремальную длину

Экстремальная

длина

в искривленном

пространстве-

времени

25-01457
2

.”586 13. Риманова геометрия

ФИГ. 13.2.

Колебательное движение звезды в направлении, перпендикулярном плоскости галактики, имеющей форму диска, как пример ситуации, когда два события Jt п могут быть соединены более чем одной геодезической. Слева вверху: вид галактики с ребра; штриховой линией показана траектория данной звезды по отношению к локальной системе, принимающей участие в общем вращении звезд диска. Справа веерху: эффективный потенциал, в котором колеблется звезда, согласно ньютоновской теории тяготения; он подобен потенциалу, в котором движется мячик, скатывающийся по одной наклонной плоскости и поднимающийся вверх по другой («свободное падение на плоскость галактики» с ускорением g = V2 в принятых здесь единицах). Три прямоугольные рамки в центре — возможные и невозможные-мировые линии, соединяющие два данных события Jt (плоскость галактики при t = 0> и Jf) (плоскость галактики при t = 2). Справа: звезда выброшена из галактической плоскости с такой скоростью, что она снова попадает в плоскость в момент t = 2. Слева — если звезду выбросить с вдвое меньшей скоростью, то она возвратиться вдвое быстрее (что в корне отличается от простых гармонических колебаний, но вполне согласуется с V-образным потенциалом галактики!) и успеет совершить два цикла за время между ^t и .'?¦ В центре: мировая линия, которую можно представить себе (возможная лишь при наличии ракетной тяги!), но которая не является геодезической. Внизу: сравнение этих и всевозможных других траекторий, которые могут быть приближенно представлены в виде Z= a, sin (я*/2) + а2 sin (2я//2). Два подгоночных параметра O1 и а„ являются координатами в двумерном «функциональном пространстве» (аппроксимирующем бесконечномерное функциональное пространство, которое-требуется для описания всех мыслимых мировых линий, соединяющих Jt и j8; п правой рамке точный параболический закон свободного падения сравнивается с приближением, содержащим один член ряда Фурье; аналогичное сравнение проводится и в левой рамке, но там две кривые слишком близки друг к другу, чтобы их можно было нарисовать отдельно). Некоторые детали: рассуждая в рамках общей теории относительности, нужно взять произвольную мировую линию, соединяющую Jt и .Зй, вычислить вдоль нее промежуток собственного времени и затем повторить это для всех остальных мировых линий; тогда можно сказать, что данная мировая линия} представляет возможную траекторию движения («геодезическую»), если собственное время вдоль нее достигает экстремума но отношению ко всем близким мировым линиям. В ньютоновском приближении необходимо принять во внимание лишь разницу между промежутком собственного времени и промежутком iJ) коор-
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed