Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
gap ('^o) = ЛаЗ (метрика плоского пространства-времени),
(13.15а)
IfoMW = D- (13.156)
SaP. уб (Po) Ф 0, за исключением частных случаев,
таких, как плоское пространство). (13.15в)
Мировая линия в такой системе имеет нулевое ускорение CPxaIdx2 = O в #0 («уравнение прямой линии»), (13.16) где т—собственное время, измеренное по часам частицы».
Представление в виде геодезических гласит:
«В локально лоренцевой системе, как и в любой другой системе координат, мировая линия удовлетворяет уравнению геодезических
<Pxa/dx2 + Ta3v (dx*/dx) (dxy/dx) = 0 (13.17)
(т — аффинный параметр, поскольку это время, измеренное по часам пробной частицы)».
Чтобы два эти представления были совместны друг с другом при любом выборе пробной частицы (при любом выборе djpldx в S50), необходимо, чтобы
TaPy(^0) = O в любой локально лоренцевой системе [системе координат, удовлетворяющей соотношениям (13.15) в ^50]; (13.18)
т. е. необходимо, чтобы каждая локально лоренцева система была локально инерциалъной системой. (О локально инерциальных системах см. § 11.6.) В такой системе все локальные эффекты «тяготения» пропадают. Таков кратко физический смысл условия (13.18).
Требуя тождественного совпадения геодезических (полученных из Pzbv) и прямых линий локально лоренцевой геометрии g^, мы вовсе не обязаны выражаться на языке специальной системы
§ 13.3. Соответствие между геодезическими и прямыми 383
2
координат. Локально лоренцева специализация системы координат может предоставить нам самый непосредственный способ увидеть физику («отсутствие локальных эффектов тяготения»), HO было бы неоправданным воспользоваться ею для формулировки в самом общем виде одного из основных математических требований. Правильно было бы потребовать
Vg = 0 («совместность g и V»). (13.19)
Выраженное в произвольной системе координат, это требование гласит
ga»; T —^r - - rVau = 0. (13.19')
То, что это ковариантное требование выполняется в любой системе координат, следует из справедливости его в одной системе координат — в локально лоренцевой системе. (В локально лоренцевой системе отдельно требуется обращение в нуль в точке Si0 как первого члена в этом выражении, так и двух последующих, причем эти требования налагаются физикой.) Используя Vg = 0, можно получить в абстрактных обозначениях правило дифференцирования произведения
Vu (V-W) = (VuV)-W +V-(VuW) (13.20)
(упражнение 13.4) и следующие выражения для коэффициентов связности в произвольной системе через 1) метрические коэффициенты Sr0B = Ba^B и 2) ковариантные коммутационные коэффициенты
c"3v[ва> ©ЗІ) (13.21)
этой системы:
Г“эу = ga>lГцЗу (определение ГмзУ), (13.22)
ГиЗу ~2 (gl13» V ^VPv ?mv>.3 cmvB g&y- и ^Зуц)=
= у(?иЗ. у + ?цу. з — gpy.u) в произвольной
координатной системе отсчета. (13.23)
(Cm. упражнение 13.4.)
Выражения (13.23) дают именно те коэффициенты связности, которые требуются, чтобы геодезические искривленного пространства-времени совпали с прямыми линиями локально лоренцевой геометрии. Причем это единственные коэффициенты связности, обладающие такими свойствами; никакой другой выбор коэффициентов связности не приведет к нужному результату!
Резюме: В искривленном пространстве-времени с локально лоренцевой метрикой следующие утверждения, которые кажутся различными, на самом деле эквивалентны: 1) геодезические искривленного пространства-времени совпадают с прямыми линиями локально лоренцевой геометрии; 2) каждая локально лоренцева
Другая формулировка условия совместности: Vg = О
Выражение га через метрику
2
384 13. Риманова геометрия
УПРАЖНЕНИЯ
система [координаты, В которых gaB (Si0) = TJct в, ga3,v (t^o) = 0] является в то же время и локально инерциальной системой [Fzbv (Si0) = 01; 3) метрика и ковариантная производная удовлетворяют условию совместности Vg = 0; 4) ковариантная производная подчиняется правилу дифференцирования произведения (13.20); 5) коэффициенты связности определяются из метрики с помощью выражений (13.23). Шестое эквивалентное утверждение, вывод которого дан в следующем параграфе, гласит: 6) геодезические искривленного пространства-времени совпадают с мировыми линиями экстремального собственного времени.
13.3. Математическое представление локально лоренцевой системы
Локально лоренцевой системой в данном событии Si0 по определению называется система, представляющая собой наилучшее приближение в этом событии к глобальной лоренцевой системе. Тогда это должна быть система координат, в которой ^liv (Si0) = = TjjxV и как можно большее число производных обращается в Si0 в нуль. Докажите, что существует система координат, в которой (Zuv(Si0) =TJliV и дV, р (Si0) =0, HO ^11V1 PO (Siо) B общем случае нельзя обратить в нуль. Следовательно, эти координаты и являются математическим представлением локально лоренцевой системы. [Указание. Пусть {ха' (<$*)} — произвольная, но фиксированная система координат, а {а;11 (<Э*)} — локально лоренцева система, причем начала обеих совпадают с точкой S10. Разложите преобразование от одной системы координат к другой по степеням Xv-
