Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
динатного времени, которая выражается через «интеграл действия» (записанный для единичной массы)
dS
Ш кинетическая к / потенциальная \ '1 DHepniHj / \ энергия ) J ~
=Kmr-M]*.
[максимум (или экстремум другого рода) собственного времени соответствует минимуму (или экстремуму другого рода) действия J]. Интегрирование дает I = (я2л?/8) — — (4| O1 |/'я) + (Я-ЯІ/2) при I A2 I < V2 I O1 I (движение содержит один цикл) Il / = = (я2а?/8) -\- (л-а%12) — (4 [ а2 I/я) — (а\1 я | а2 |) при | й2 | > V2 | O1 | (движение содержит два цикла). Когда движение содержит один цикл, действие достигает минимума (промежуток собственного времени максимален). Когда движение содержит два цикла, действие достигает экстремума, но не минимума («седловая точка»). В работе [152] даны примеры других механических задач, которые приводят к более чем одному экстремуму. В работах [153, 154] приводится теорема, связывающая число седловых точек различных типов с числами максимумов и минимумов («теорема о критической точке в исчислении конечных вариаций»).
§ 13.4. Геодезические — мировые линии с экстрем, совете, временем 387
2
Звезда
Ti
• ...[ 2..
IU
Галактика
г = і-г+—г I
-0,1 0
t— Л к®
( -J
" г= 0,129 sin — +
+ 0,129 sin
2
z ->
(Ї I I
I Э 0,1 0,2 J
Г 2' 1N
:¦ I
2 = 0,516 sin
- I 2
/ = -0,328
— 1
z —I — — Г^\\
1 — 2 11
/ =-0,333 I
У/
— і і і I
Ч Q 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
25*
2
388 18- Риманова геометрия
Доказательство того, что кривые экстремальной Планы являются геодезическими
друг от друга, что, возможно, не существует единой лоренцевой системы, содержащей их обе. Чтобы провести такой анализ, нужно отказаться от локально лоренцевых координат. Поэтому вводим криволинейную систему координат общего вида и в результате получаем
т= jdx = J (—guv dx* dx4)1** —
А
экстремум для времениподобной мировой линии, которая является прямой в каждой локально лоренцевой системе вдоль нее, по сравнению с любой другой «близкой» мировой линией
В реальном мире траектория экстремального т, будучи прямой в каждой локально лоренцевой системе, должна представлять собой геодезическую пространства-времени.
Отметим, что слово «максимум» в выражении (13.24) заменено в утверждении (13.25) словом «экстремум». Если Jt и 98 далеко отстоят друг от друга, то вполне возможно, что их можно соединить несколькими различными геодезическими с разными промежутками собственного времени (фиг. 13.2). На любой времениподобной геодезической т достигает экстремума по отношению к близким деформациям этой геодезической, HO этот экстремум не обязательно является максимумом. Когда два события соединены несколькими различными геодезическими, типичной точкой на схзма.ч типа фиг. 13.2 и 13.3 бывает не точка локального максимума («горная вершина»), а точка седла («горный перевал»).
Из соответствия между локальными прямыми линиями (линиями экстремальнэго т и геодезическими искривленного пространства-времени) следует, что времениподобные геодезические должны иметь экстремальную собственную длину. Если это так, то любая кривая х*1 (X) между Jt (гдэ X = 0) и 98 (где X = 1), на которой т достигает экстремума, должна удовлетворять уравнению геодезических. Чтобы проверить, является ли кривая, прочимая в геодезические, экстремалью по отношению к собственному времени, подвергнем ее малой, но произвольной деформации:
исходная кривая х>* = а?- (X); деформированная кривая Xv- = a* (A.) + Sali (X).
Истекший промежуток собственного времени вдоль любой кривой составляет
J. (13.25)
.л »
(13.27)
§ 13.4, Геодезические — мировые линии с экстрем, собств. временем 389
2
ФИГ. 13.3.
Нахождение мировой линии с экстремальным промежутком собственного времени. Слева: пространство-время; мировая линия F, вдоль которой промежуток собственного времени т между Jt и Si достигает экстремального значения, сравнивается с другими мировыми линиями. Конкретные мировые линии, показанные на рисунке, отличаются от опорной мировой линии G на величину, которая характеризуется двумя «фурье-амплитудами» O1 и а2:
бв*4 (X) = а\ sin (яХ) + а2 sin (2яХ),
где произвольные масштабный фактор и начало отсчета параметра X выбраны таким обра-зом, что X (jt) — О, X (SS) = 1.
Справа: «пространство траекторий». Координатами в зтсм пространстве являются фурье-амплитуды а, и а2. Показаны лишь эти деє амплитуды («деэ измерения»), тогда как нужно было бы показать бескснечное число амплитуд («бесконечномерное пространство траекторий»), необходимых, чтобы представить времениподобную мировую линию общего вида, соединяющую Jt и S3. Каждый данный контур (в пространстве траекторий) проходит сквозь все те точки, которые соответствуют мировым линиям (в пространстве-времени), отмеряющим один и тот ».е промежуток собственного времени т, указанный на контуре. Пред-шествующее описание является классическим; согласно квантовой механике, все времени* подобные мировые линии, соединяющие Jt м Si, имеют одну и ту же амплитуду вероятности («принцип равноправия историй») и отличаются друг от друга лишь фазой этой комплексной амплитуды вероятности схр (—imilh) (т — масса частиц, h — квавт момента импульса). Однако при сложении этих амплитуд вероятности ив-ва разрушительного действия интерференции исчезает вклад всех тех историй (траекторий), которые слишком сильно отличаются от оптимальной, или классической истории («волновая зона Френеля»; «фейнманов-ский принцип суммирования по траекториям», см. [155]). Опираясь ва эти принципы волно-еой механики, демонстрир}кщі!е, как на самом деле действуют законы физического мира, в дополнении 25.3 описывается метод Гамильтона — Якоби («кванті вомеханический предел коротких длин волн») определения геодезических, метод, который с точки зрения приложений гораздо удобнее, чем обычные «дифференциальные уравнения второго порядка для геодезических» [уравнения (10.27)].
