Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(Pxa pa dx*1 dxv
HhT + “у"5зГ“5Г
(1)
d^ldX2 + Tliap (dxa/dX) (dxfi/dX) = 0],
§ 13.4. Геодезические — мировые линии с экстрем, собств. временем 395
2
основной член в котором имеет вид X1 можно получить из лагранжиана с основ-
1 *
ным членом ухг («кинетическая энергия», «динамический» член). Простейшим
1 *
обобщением -уа", не зависящим от координат, является
У guv (dx^/dl) (dxv/dX).
Таким образом, мы приходим к тому, что вместо «геометрического» принципа экстремальной длины следует попробовать применить новый «динамический» экстремальный принцип
/ = Т Ig»v4TT)rdl== IL(x"• TBT ) ^ = экстремум (2)
of A
(квадратный корень в предыдущем вариационном принципе заменяется на первую степень). Условием экстремума здесь, как и ранее [уравнения (13.30) — (13.32)], является обращение в нуль так называемой «функциональной производной» Эйлера — Лагранжа:
q _ Ы ____/ коэффициент при 8х° в подынтегральном \ _ <>L____d_ SL t/o\
8ха \ выражении для 6/ ) дх° д I dx° '
или в подробной записи
cPxv і I / d?ov , dScni Sgilv \ HxV
Sav
d?x4 і I I °8ov . dgijii Ogilv \ dj? dxv ^ ,/¦.
Л* d3y 17"/ dX dX “U; W
после умножения на обратную метрическую матрицу получаем d2ха , I / dgov dgafi QgiIv \ dx** dxv
dX 2
. „ I / ggov . Пау. Qgiiv \ dx* dxv _ft
2 I ?/ f dx4 dx° I dX dX -U’ W
что совпадает с уравнением геодезических
&ха , ,-,a Acli dxv л /ft4
W + 1 и- W
Таким образом, новое «динамическое» выражение (2) действительно экстремально для геодезических кривых и в отличие от собственной длины (1) оно экстремально тогда и только тогда, когда геодезическая аффинно параметризована. [Соответствующие «уравнения Эйлера — Лагранжа» (6) остаются справедливыми лишь при тех изменениях параметра Я,Нов = я^стар + Ъ, которые сохраняют параметр аффинным; в отличие от этого, уравнепия Эйлера — Лагранжа (13.31) и (13.32), соответствующие «принципу экстремальной длины» (1), остаются справедливыми при совершенно произвольных изменениях параметра.]
2
396 13' Риманова геометрия
Симметрии R в отсутствие метрики
Новые симметрия, накладываемые введением метрики
Тензор
кривизны
§ 13.5. СВОЙСТВА R, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ НАЛИЧИЕМ МЕТРИКИ
В ньютоновском пространстве-времени, в эйнштейновском про-странстве-времени реального физического мира, вообще в любом многообразии с ковариантной производной тензор кривизны Римана обладает следующими симметриями (упражнение 11.6):
RaPv6 = i?“p[Ve] (антисимметрия по последним
двум индексам), (13.40)
/?а[руб] = 0 (обращение в нуль совершенно
антисимметричной части). (13.41)
Кроме того, он удовлетворяет дифференциальному тождеству
(упражнение (11.10)
i?“p[Ve; є] = 0 («тождество Бианки») (13.42)
(геометрический смысл обсуждается в гл. 15).
Введение метрики, как в эйнштейновском пространстве-времени, так и в других многообразиях, накладывает на R дополнительную симметрию (упражнение 13.8)
Rapv6 = і?[аріуб (антисимметрия по первым
двум индексам). (13.43)
Последнее соотношение вместе с (13.40) и (13.41) образует полную совокупность соотношений симметрии для R, другие симметрии, которые из них вытекают, имеют вид (упражнение 13.10)
Rafab = RvW (симметрия по отношению к перестановке
пар индексов) (13.44)
и
і?[оерув] = 0 (обращение в нуль совершенно
антисимметричной части). (13.45)
Благодаря этим соотношениям симметрии число независимых
компонент R уменьшается с4х4х4х4 = 256 до 20 (упражнение 13.9).
Наличие метрики позволяет образовать из R целый ряд новых тензоров кривизны. Некоторые из них, играющие впоследствии важную роль, определены ниже.
1. Дважды дуальный R тензор 6= *R* (аналог тензора M = *F) имеет компоненты
CapVfl = у EapiiXvpa I epove = -1 Saplivpove^vpo (13.46)
(упражнение 13.11).
§ 13.5. Свойства R, обусловленные наличием метрики 397
2. Тензор кривизны Эйнштейна, который симметричен (упражнение 13.11):
Gpe = G3e = G83. (13.47)
3. Симметричный тензор кривизны Риччи и скалярная кривизна
R\ = R»\6, Zi3e = Ae3; R^R\, (13.48)
которые связапы с тензором Эйнштейна соотнощзнием (упражнение 13.12)
Дрв = Срв + ±Д6рв. (13.49)
4. Конформный тензор Вейля (упражнение 13.13)
Cafiv6 = Яарїв-26lalvR\ + j б[а[у8Р1в]Д. (13.50)
Тождество Бианки (13.42) приобретает особенно простой вид, если его переписать через дважды дуальный тензор •б:
GaPy6-, а = 0 («тождество Бианки») (13.51)
{упражнение 13.11); отсюда вытекает очевидное следствие
GapJ3 = O («свернутое тождество Бианки»). (13.52)
В гл. 15 раскрывается глубокий геометрический смысл этих тождеств Бианки.
13.8. Антисимметрия R по первый двум индексам
а. Выведите условие симметрии (13.43). [Указание. С помощью выкладок в абстрактном представлении покажите, что произвольные векторные поля s, и, V, W удовлетворяют соотношению 0 = = М(и, V) (s-w) = S AM (u, V) w] + чАМ (и, V) s). Отсюда получите (13.43).]
б. Поясните на геометрическом языке смысл этой антисимметрии.
13.9. Число независимых компонент R
