Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
соответствуют операторам
р+ = -р/, р- = -рг\ я°=-/р, d=^ + %
J+ = г'фдр - it2dt, J~ = - фГ1д^ -idt, J° = tdt,
K+ = (r)~l (Р<Эр - tdt) (P<?p - tdt - 1),
K~ = r*r1 (ftfp + tdt) И + tdt - 1).
К° = ф-Ч(^)2-(Р<5Д (7.2)
где
7* = -F /2 tJ и J =iJз
и аналогичные выражения имеют место для . Р±, К± и т. д. В
рассматриваемом нами случае предполагается, что Ci, Сг и h выбираются
таким образом, что при каждом интегрировании по частям граничные члены
обращаются в нуль:
Р±х? = I {P±h), ]±'? = l {j±h)
и т. д.
В качестве первого примера возьмем С\ и Сг в виде единичных окружностей
на р- и /-плоскости соответственно с центрами в начале координат и
обычным направлением обхода (против часовой стрелки). Тогда, полагая
А(Р, /(0= Е amr> / = 0,1,2,..., (7.3)
тп^-1
вычислим при помощи теоремы о вычетах интеграл по р, что дает
2я
Т1, (х, у, z) = I (h) = - ^ [ix cos a + iy sin a - z]1 j (eia) da.
(7.4)
о
Из (7.3) видно, что h является собственной функцией оператора D,
отвечающей собственному значению -I - Уг; следовательно, согласно
(6.131!),
J . ЛЧ* = - /(/+ 1)\К
Кроме того, - решение уравнения Лапласа, являющееся однородным
многочленом от х, у, z порядка /. В частности, для /(/) = tm, мы имеем
/0VF = тЧ\ следовательно,
функция ^ должна быть кратной шаровой гармонике рlYf (0, ф),
3.7, Тождества для решений уравнения Лапласа 26Е
выраженной в сферических координатах (строка 5 табл. 14). Вычисляя этот
интеграл для частного случая, когда 0 = 0, мы получаем
I 2lt
I= J [г sin 0 cos (ф - а) - cos 0]г eiam da =
о
= 16я3(-1)жгтрг [4я(2/ + 1)(/_т)!(/ + т)!Г1/2*Т(0, ф). (7.5]
В качестве следующего примера возьмем контур Сг в ^-пло-скости, контур
С'и состоящий из положительной части вещественной оси p-плоскости от
точки р = 0 до р = +°°> и
аналитическую функцию /г(Р, t) = р4m, I = 0,1,2 т = I,
I-1........-I. В этом случае 1F = /(/z) удовлетворяет уравне-
ниям DW = (l + 1/2)'?, i-JW = -l(l + \)W, /°Т = тТ, и легко показать, что
2я
I ($ltm) = J [- i sin 0 cos (ф - а) + cos 0]-/-1е*таб?а =
о
= г1-тр-г-1 [16я3(/ - т)! (/ + т)1/(21 + 1)]1/2 Y?(0, ф), (7.6)
где р, 0, ф - сферические координаты и 0 ^ 0 < я/2.
Теперь рассмотрим уравнения
"Л, ^2} - {Ри /2}) f = - kf> pf = mf (7.7]
для собственных функций, соответствующих системе параболических
координат. Для модели (7.2) эти собственные функции имеют вид
Cm (Р. 0 = ехр (- V2P) Р-1 tm. (7.8)
Подставляя в уравнение (7.1) h = f^m и выбирая контуры Ci, Сг, мы
находим, что
2я
= - 2я J /0 [г (2Я)1/2 (z-ix cos a-iy sina)I/2] eima da =
о
= - 4л2/m (- i VI i) Jm (VIл) е,тф. (7.9) x = %r\ cos ф, y = |r] sin ф, z
= (I2 - л2)/2.
Как обычно, тот факт, что переменные разделяются, дает нам возможность
вычислить интеграл. Подставляя в уравнение (7.1) Л = /(\т и выбирая
соответствующим образом контуры С(, Сг,
see Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
мы получаем
О*
ipfm = /(/i8.)m) = 2^'n+le,m4,S /m(Pr)exp(-P<r-V2P)dP/P =
о
2л
*= 2/ ^ Ко [(2А,)1/2 (z - ix cos a - iy sin а)1/2] eima da = о
= 4я/Кт(Уй)/т(/ VZr{)eimf, Я, > 0, ? > | ri |, (7.10)
где второе и третье равенства получаются в результате интегрирования.
Заметим, что второе равенство дает разложение нашего решения по
цилиндрическим волнам.
Подобным же образом интегрирование в (7.6) по t дает разложение
ол
I (р'/т) = 2я1т+Утф 5 /т (Pr) e"pzp' dp, г > 0, (7.6')
о
шаровой гармоники по цилиндрическим волнам.
Применяя оператор / (с контурами С\, Сг) к обеим частям тождества
/i?m(Р> Р
мы находим разложение
^т(х) = -; Z 16я3Г [4я (21 + 1)(/ - т)! (/ + т)!]~1/2 X
Х(Я,р/2)'(/!Г1УГ(0, Ф) (7.9')
произведений функции Бесселя по сферическим гармоникам.
Соответствующие системе координат сплющенного сфероида (системе 7)
уравнения на собственные значения
(J.J + a2P\ + a2Pl)f = -Xf, Pf = mf в модели (7.2) дают собственные
функции
0 = Р-1/Ч(аР)Л v2 = * + 7<. (7.11)
Рассматривая случай, в котором m - положительное целое число и v = / +
'/г (где / > -1), и применяя оператор I (контуры Си С2), получаем
^'m(x) = 1 (/?* J = 2я/т+Утф J Jm (Pr) Jv (ар) е~Ьг dp/p1/2 =
о
= 2я/т+1 (a ch л)-12 Г (щ + / + 1)е'тФХ
ХРГт(соз а)Рй!г,^(Ш Г]), 0 < а < я/2, 0 < г),
(7.12)
3.7. Тождества для решений уравнения Лапласа 267
где а, г], ф - координаты сплющенного сфероида (строка 7 табл. 14).
Заметим, что второе равенство дает разложение нашего решения по
цилиндрическим волнам. И в этом случае интегралы вычисляются довольно
просто, так как нам заранее известно, что переменные в решении
разделяются. Для того чтобы определить четыре оставшиеся константы,
необходимо только исследовать поведение интеграла в окрестностях rj = О и
а = 0, я/2.
В случае, когда v =* I + '/2. / = 0, 1,2, ..., можно разложить
(7.11) в степенной ряд по переменной (5 и, применяя почленно оператор
/, получить разложение решения в сфероидальных координатах по шаровым
гармоникам:
Ш(7) = V ( а У+2п+1/2 fj\2n-m+l w
К m ( ' ' Lj I 2 J '' n\T(l + n + 3/2) X
x [16." i'+2',~+L('++i2"+"1T >'""• <e' f)- <7-13)
