Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Ln'(z) в (5.14) обозначаются обобщенные многочлены Лагерра.
Для вычисления матричных элементов операторов T(g) относительно этого
базиса можно воспользоваться нашей моделью. Например, действуя на базис
{f^m}, оператор Т(а) = ехр (аР3)] дает
т (") (P. t) = е-шМ + Р2)'1/2 [(1 + m 1 - Ф)Г г =
= ? в -"""(-If и- "(2ша>) /(r) ^ m (Р, i).
3.5. Модели негильбертовых пространств 247
Этот результат получается из производящей функции (4.11); см. разд. 2.4.
Нетрудно показать, что преобразованием / это тождество отображается в
тождество
T(fl)^L(x)=Z е~Ыа (-l)s L(s~l) (2/асо) ?1%, m (х). (5.15)
5-0
(Заметим, что эта сумма конечна.) Подробные выкладки, а также определение
матричных элементов общего вида ?(3) относительно параболического базиса
можно найти в [96]. Впервые доказательство (не теоретико-групповое) этих
формул разложения было дано Хохштадтом [136].
Рассмотрим теперь тождества для решений уравнения Гельмгольца, получаемые
методом Вейснера. Хорошим объектом для приложения этого метода является
комплексное уравнение Гельмгольца, которое получается из (1.1) в
предположении, что все переменные этого уравнения комплекснозначны. Для
подробного анализа этого уравнения необходимо определить все комплексные
аналитические системы координат, в которых разделение переменных имеет
место. Мы же рассмотрим здесь лишь те системы координат, допускающие
разделение переменных, которые представляют особый интерес.
Наибольшее практическое значение имеет система сферических координат
Исследуем решения W комплексного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие
(5.16) в тех случаях, когда / и m - комплексные, не обязательно целые
числа. Прежде чем рассматривать теоретико-групповые свойства этих
решений, необходимо исследовать соответствующие собственные функции в
нашей модели комплексной сферы, и поэтому мы начнем с операторов (5.4).
Представленные с помощью новых комплексных переменных т, р, где
т = /(1 +р2)1/2, р = -ip, (5.17)
эти операторы принимают следующий вид:
Из этих выражений легко получить, что решение ff уравнений
00
J.J ? = - /(/+!)?, Р'? = т'?.
(5.16)
J+ = -xdp, J~ = x 1 ((l - р2) dp - 2рт<Эт), J° = тдх, Р+ = (от, Р~ = co(l
- р2)т-1, Р° = сор.
(5.19)
которое имеет вид
/}')(р, т) = Г(/ + 7г)(2т)\
248 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
единственно с точностью до некоторой мультипликативной константы.
(Множитель Г(/ + 1/г)2/, где / - произвольная комплексная константа,
такая, что I + '/г не является целым числом, введен для удобства
последующих вычислений.) Из (5.19) следует, что W = /</) удовлетворяет
(5.16) при m = I. Для того чтобы получить другие решения, рассмотрим
разложение
ехр (a/-) ff = ? (ап/п\) (/")" f\l). (5.20)
п=0
Если положить ff_n = [(- 1)" Г (21 - п + 1 )/Г (21 11] (/") ff,
п = 0, 1, 2, ..., то из соотношений коммутирования для оператора J
вытекает, что
Л(r)-"С n* = (m-l)f"+v r/S-(m + 0/(r)_lf
j. j/№ = -/(/-bl)/№ m = l, l-l, 1-2, ... . '.
Применяя к левой части соотношения (5.20) некоторые соображения теории
Ли, мы получаем производящую функцию
Г (/ + 72) [2т - 4ар - 2а2 (1 - р2)/т]* =
со
= Е (-")"(2/и/)(р)^-п. (5.22) я=0 \ п /
ff (р. т) = if (р) т'_п, m - l - п.
Это разложение справедливо для т#0 и достаточно малого а. Сравнивая
коэффициенты при а" в обеих частях этого уравнения, мы находим
(Р, т) = г (/ - m + 1) Г (т + 7г) С^/2 (р) (2т)м, (5.23)
где С%(х) - многочлен (ультрасферический) Гегенбауэра (Б.бп). Этот
многочлен обычно определяется при помощи производящей функции
(1 -2ax + a2)"V= ? Cl(x)a, (5.24)
л=0
теоретико-групповое значение которой будет раскрыто в разд. 3.7. Когда I
- положительное целое число и т = 1, 1-1, ..., -функции (5.23)
пропорциональны комплексифи-кациям сферических гармоник Yf. Но нас прежде
всего будут интересовать случаи, когда 21 не является целым числом. Из
рекуррентного соотношения для многочленов Гегенбауэра
*3 М="" м+с1~1 <*>•
3.5. Модели негильбертовых пространств 249
которое можно легко получить либо из (5.24), либо из (Б.6П), следует, что
p,ffi°-2<Trgtll+ fir'- <5-25>
Кроме того, в силу соотношений коммутирования [Я0, /±] = = ±Р± мы имеем
Р+М) __ (0 г</+1) _ to (/ - rn) (/ - m - 1) г(/-
1)
Г >т 2/+1 'т+1 21 + 1 'т+1'
p-tC) ~ т f('+D I ю У + т) (/ + т - 1) г(Г-1) (5-26)
'т 21 + 1 'т-1 > 2/ + 1 'т-1 '
Соотношения (5.21), (5.25), (5.26) определяют действие алгебры <?(3) на
базис {/<*>}, где I = /0, /о±1, /о ± 2, ..., т = I, 1-1, ... и 2/0 не
является целым числом. (Как известно, простой вид соотношения (5.25)
связан с тем фактом, что многочлены Гегенбауэра ортогональны с
соответствующим весом [17, гл. X]. Это свойство многочленов Гегенбауэра,
как и многие другие, связано с волновым уравнением, и поэтому будет
рассматриваться в следующей главе.)
Известно, что любую целую функцию от х можно единственным образом
разложить в ряд по многочленам Гегенбауэра С"(х), п = 0, 1, 2, ... (2v не
является целым числом), который равномерно сходится на компактных
