Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
x2 = sin a sin a/(cos a - cos if)
переменные в уравнении (1.1) /^-разделяются и формула (2.5) дает
4# (х) = (- i)m~1 [(cos a - cos ф)/(41 + 2)]m X
x exp [- /М" (/ + V*)] КГ (<T, a), (2.7)
где YT - сферическая гармоника. (Параметры всегда можно выбрать таким
образом, чтобы cos а - cos ф >¦ 0; см. [62].) Действительно, на
пространстве решений уравнения (1.1) мы имеем
Г"-а"+ гв=а", (2.8)
и поэтому
'Pm = (cos а - cos ф)1/2 ехр [- /ф (/ + '/г)] ехр (/ma) g (а).
Подставляя последнее выражение в (1.1), мы находим, что переменные /^-
разделяются и g(a) является линейной комбинацией функций P^cos о), Q?
(cos а). Вычисляя интеграл (2.5) для частных значений параметра
(например, для ст = 0, п), мы получаем формулу (2.7).
Имеется другая модель нашего неприводимого представления
накрывающей группы SO (3,2), для которой собственные функции операторов
Г45 и Г2з принимают исключительно простой вид. Пространство представлений
является гильбертовым пространством Баргманна - Сегала ^. состоящим из
всех целых функций h(zu z2), таких, что [12]
\ |ApdE(z)<oo, схс (2.9)
d\ (г) - п~2 ехр [- (| г, Р +1 z2 Р)] dxx dx2 dy1 dy2, zt=*Xj + iyt.
Скалярное произведение имеет вид
(f,A>= J fhdW).
схс
4.2. Оператор Лапласа на сфере 283
Пространство нашего представления не совпадает с #"2, но является
подпространством SF2, состоящим из всех функций h е &&~2, таких, что h(-
zi, -z2) = h(zit z2). Функции
/"> (z) = z'^z'-n/W + m)\ (/ - m)l]1/2,
/ = 0, 1, 2, m~l, - /,
образуют о. н. базис для Полагая
Г45 = у (zidZl + z2dZs +1), Г is = j {z\z2 - dZlZi),
г23 = { (* А, - *2<U г42 = 1 (dZiZt + - z2 - z2)
(2.10)
(2.11)
и сравнивая эти выражения с (2.3), можно видеть, что имеется
новая модель нашего представления группы 50(3,2), в которой функции /{?00
можно отождествить с функциями (2.10). Явное унитарное отображение U из
Ж+ в &~2, коммутирующее с групповым действием, имеет вид
?//(z)-JJt/ (k, z) / (к) dix (к), / е Ж+, (2-12)
R'
где
U(к, z)=Zf^ (к)(z) === те-1/2ехр(- Л + zIz2)X (2ЛЗ)
X ch {У2/г [zi ехр (г'0/2) - z2 ехр (/0/2)]}, ki = k cos 0, k2 - k sin 0.
(Заметим, что '^(к)еЖ+ и /^(z)e^.)
Для того чтобы понять, какую роль играют координаты (2.6), следует
заметить, что если ф1 - решение уравнения (1.1), такое, что Г45'1Г = г(/
+ 1/г)г1Г, то ^(а, а, ф) = = (cos а - cos ф)1/2 ехр [-гф (/ + '/г) ] Ф
(ff, а), где Ф -собственная функция оператора Лапласа на сфере (см.
уравнение
(2.20) разд. 3.2 при а = 0, а = ср). Как мы видели в разд. 3.3,
уравнение (2.20) допускает решения с разделенными переменными в двух
системах координат. Для первой системы (сферические координаты {а, а}) мы
имеем решения уравнения (1.1) с /^-разделенными переменными вида (2.7),
которые диагонали-зируют операторы
1. Г45, Ita.
Однако имеется также система типа Ламе, которая приводит к
решениям уравнения (1.1) с /^-разделенными переменными, диа-
284 Гл. 4. Волновое уравнение
гонализирующими операторы
2. Г45, Г?2 + а2Г2з, а > 0.
Матричные элементы для этих базисов уже были вычислены нами в разд. 3.3.
4.3. Диагонализация операторов Р0, Р2 и D
Теперь найдем системы координат, допускающие разделение переменных
уравнения (1.1), такие, чтобы соответствующие базисные функции Д- были
собственными функциями оператора Ро¦ W = ivW. Для таких систем мы имеем
Ф(л:) = = exp(i(DXo)0(xb х2), где
(<?п + д22 + (а2) ф = 0. (3-1)
Таким образом, уравнение для определения собственных функций сводится к
уравнению Гельмгольца. Теперь Ро коммутирует с каждым элементом в
евклидовой алгебре Ли S'(2), порождаемой операторами Pi, Р2, М\2, но, как
известно из гл. 1, S{2) является алгеброй симметрии уравнения (3.1).
Кроме того, уравнение (3.1) допускает решения с разделенными переменными
в четырех системах координат, причем каждая из этих систем соответствует
оператору симметрии второго порядка, являющемуся элементом обвертывающей
алгебры алгебры S(2); см. табл. 1. Четыре системы координат, допускающие
разделение переменных для уравнения (1.1), характеризуются диагонализа-
цией операторов, представленных в табл. 18.
Условие Pof = по/ в Ж+ влечет равенство /(к) = = б(/г - со) gcn(0), где
со > 0, k\ = k cos 0, k2 = k sin 0. Для того чтобы найти функции ga,
достаточно рассмотреть гильбертово пространство ^2(^2), действие группы
Е(2) в котором описывается при помощи операторов
Р[ = - ?(0 COS 0, Л2 = - ГСО sin 0, Mi2 = <30.
Эти операторы определяют унитарное неприводимое представление группы ?(2)
в ?2(^2). Как только собственные функции
Таблица 18
3 Р%Р\ Декартовы
4^ ом •-to to Полярные
б 4{М12, Р2) Параболического цилиндра
6 P2,M22 + d2P2 Эллиптические
4.3. Диагонализация операторов Р0, Рг и D 285
|Гшц(0) второго оператора в строках 3-6 табл. 18 будут определены,
соответствующие решен-яя с разделенными переменными уравнения (1.1) можно
найти из соотношения
Л
Ч'шц (*) = (4л)-1 ехр (тх0) 5 ехр [- ш (х! cos 6 + х2 sin 6)] gm (6) dQ.
(3.2)
Заметим, что эта модель фактически тождественна круговой модели,
