Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 100

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 122 >> Следующая

расщепляющейся. В этом случае можно диагонализировать операторы первого
порядка Д. Такие системы наиболее изучены и просты в обращении. В более
общем случае, когда система координат соответствует подпространству с
базисом Si, S2, таким, что Si = L2, Le so (3,2), мы говорим о полу
расщепляющейся системе. В этом случае можно диагонализировать оператор
первого порядка L. Если нет базиса Si, S2, такого, что оператор Si
является квадратом некоторого Leso(3,2), то мы называем соответствующую
систему нерасщепляющейся. Из всех систем координат, допускающих
разделение переменных, нерас-щепляющиеся системы являются наиболее
сложными и реже всего используются в приложениях.
Детальное (но не исчерпывающее) исследование решений с ^-разделенными
переменными уравнения (1.1) проведено в работах [59-61]. В настоящей
книге мы удовлетворимся рассмотрением некоторых наиболее важных
полурасщепляющихся систем. Заданный оператор Lgso(3,2) может
соответствовать нескольким полурасщепляющимся системам (либо ни одной
такой системе). Действительно, если 'Е удовлетворяет уравнению
(1.1) и U? = iTi.'E, то, поскольку L -оператор симметрии урав-
Sy'E-VE, /=1,2
280 Гл. 4. Волновое уравнение
нения (1.1), можно ввести новые переменные у0, у\, У2, такие, что L = дУа
+ / (у) (где функция f может быть тождественно равна нулю) и х?(у) =
г(#)ехр(Ш/о)Ф*.(1/1> У2), где г заданная функция, удовлетворяющая
уравнению ду/ + fr = 0. Тогда уравнение (1.1) сводится к
дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка для
функции от двух переменных г/i, г/2- Каждая полурасщепляющаяся система,
рассматриваемая нами, соответствует системам, допускающим разделение
переменных для полученного дифференциального уравнения. В частности, Si =
L2, a S2 соответствует оператору симметрии второго порядка полученного
уравнения.
В следующих разделах мы рассмотрим различные формы оператора L, которые
приводят к полурасщепляющимся системам.
4.2. Оператор Лапласа на сфере
Прежде всего исследуем системы, соответствующие диагона-лизации оператора
Г45 (см. (1.8)). Ограничим наше унитарное
неприводимое представление группы SO (3,2) в Ж+ на компактную подгруппу
SO(3); тогда это представление разбивается в прямую сумму неприводимых
представлений Di группы SO(3), причем dim = 2/+ 1. Определим
соответствующий базис для Ж+, в котором происходит это разбиение. Таким
базисом является базис собственных функций коммутирующих операторов Г45 и
Г23 = Mi2:
Г45/ = Ш> Г23/ = tmf" - *"Г45 = (k0/2) (- д\\ - д22 + 1). (2.1)
При k\=k cos 0, k2 = k sin 0, k0 = k легко показать, что о. н, базис
собственных векторов имеет вид
/W (к) = [(/ - т)!/я (/ + т)\]т (2k)m (2k) eim9, (2.2)
Л = / + Va, / = 0, 1........ m = l, l-l......
Из этого результата и (1.14П) видно, что множество при фиксированном I
образует о. н. базис для представления Di группы SO(3). Кроме того,
ограничение нашего представления
группы SO (3,2) на группу SO(3) можно представить следую-
оо
щим образом; SO(3)=2(c)^/- И3 известных рекуррентных
4.2. Оператор Лапласа на сфере 281
формул для многочленов Лагерра вытекают соотношения = V2 [(/ - гп + 1) (/
+ m + 1)]1/2 /?+" -
= ~ 'А [(/ ¦+ m + 2) (I + m + 1 )F /"+? +
+ 74[а-т)(/-т-1)ГВД +
- '/"[/ - m + 1) (/ - m + 2)F /</+1 (2.3)
Использовав (2.1), (2.3) и взяв коммутаторы, можно определить действие
оператора Гар на этот базис.
Следует указать на тесную связь между уравнением на собственные значения
Г45/ = iXf и квантовой задачей Кеплера в двумерном пространстве
Hg = №, Н - - дхх - дуу + е/г,
г = (х2 + у2)112, ^gfdxdy < оо. (2-4)
R1
Эти две задачи на собственные значения можно идентифицировать в
предположении, что k\ = jc(-р)1/2, fe2 = у{-р)1/2, р - = -е2/4АЯ Данные
задачи на собственные значения определены на гильбертовых пространствах с
различными скалярными произведениями, но из теоремы о вириале [47]
следует, что если собственное значение энергии р принадлежит дискретному
спектру оператора Н, a g- соответствующий собственный вектор, то g также
имеет конечную норму в дё+. Обратно, если / -
собственная функция оператора Г45, то ^ | f fdxdy < °о, а /
соответствует собственному значению энергии р, принадлежащему дискретному
спектру оператора Н. Поскольку собственные значения % оператора Г45
определяются соотношением Я, = = I + V2, / = 0, 1, ..., отсюда следует,
что собственные значения дискретного спектра оператора Н имеют вид pz = =
-е2/4(/+V2)2. Это вполне удовлетворительное объяснение строения
дискретного спектра оператора Н не проливает свет на строение
непрерывного спектра оператора Н, поскольку оператор Г45 имеет только
дискретный спектр.
Используя отображение (1.20), можно вычислить соответствующий о. н. базис
решений с положительной энергией урав-
282 Гл. 4. Волновое уравнение
(2.6)
нения (1.1):
'F(tm) М=[-ЩrfkrT ехР [ш (а " т)] X
оо
х 5 ехр [(/х0 - 1) k] (2k)m Jm (kr) (2k) dk, (2.5) о
Xi = r cos a, x2 = rsina.
В координатах
x0 = sin i|)/(cos a - cos if), x{ = sin a cos a/(cos a - cos if),
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed