Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
подмножествах комплексной плоскости (см., например, [140]). Таким
образом, мы можем вычислить экспоненты операторов Р и / и найти матричные
элементы этих операторов для базиса {/"}; соответствующие довольно
сложные выкладки можно найти в [84]. Кроме (5.20), (5.22) мы приведем
здесь только один из этих результатов: из соотношения (5.25)
доказательством по индукции получается, что
еар = (2/a)v Г (v) I (v + п) h+n (a) Cl (р), v, аеС, (5.27)
л" 0
т. е.
exp(aP")f(r) = (|)'+'S Г (/ + i) ? " + ("),<.+*
л=0
(5.27')
где 7v(a) = exp(-ivn/2)/v[aexp(in/2)] - модифицированная функция Бесселя
[17].
Теперь изучим связь между этими результатами и решениями комплексного
уравнения Гельмгольца в случае сферического базиса. Для удобства вместо
комплексных сферических координат г, 0, ф (см. строку 5 в табл. 14)
возьмем эквивалентные
250 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
координаты
р = - cos 9, т = - ег<р sin 9, s = ir, (5.28)
допускающие разделение переменных. В этих координатах операторы симметрии
для уравнения Гельмгольца имеют вид
/+ = - хдр, Г = т-'СО-р2)<5р-2рт<5т), /° = тдх,
Р+ = хд3 -- д0 - -дх,
S Р S
р-^У-Р'а рп-рг1д . ? + }.д
г т °s ST Р S
ро = 9ds + 1=р1 <Зр-^- дх. (5.29)
Мы ищем множество решений (Ч^х)} уравнения Гельмгольца, которые'под
действием операторов симметрии (5.29) удовлетворяют рекуррентным
соотношениям (5.21), (5.25), (5.26). Поскольку операторы J в (5.18) и
(5.29) идентичны, отсюда следует, что
= ВД>(р, т).
Подставляя это выражение в (5.25) и (5.26), мы видим, что функция S(,)
должна удовлетворять рекуррентным соотношениям
(-й- - т)s(0 & " coS('+1) (ж+-Чг1)5(0 & " coS('"1) W *
(5.30)
Следовательно, -решение модифицированного урав-
нения Бесселя, и, взяв
5(г)($)= (cos)-1/2//+i/2(cos) или S{1) (s) = (as)-1/2 /-г-1/2 (as),
(5.31)
мы находим, что при любом выборе будут удовлетворяться рекуррентные
соотношения (5.30). Взяв первое выражение (5.31), мы видим, что функции
Ч'Й (s, Р, т) - (1 - пг)\ Г (m + l/2) (cos)"1/2 /1+1/2 (cos) С?+%2 (р)
(2т)т
(5.32)
и операторы (5.29) удовлетворяют рекуррентным формулам (5.21), (5.25),
(5.26). Таким образом, определяющие действие группы ?(3) матричные
элементы, вычисленные для базиса Vm>}> справедливы также для базиса {Ч^}.
Например, из (5.27)
S.5. Модели негильбертовых пространств 251
мы получаем теорему сложения Гегенбауэра {/i+i/2(sS)(2S)-'-1/2-
= г (/ + %) z (1 + П+ >/2) Il+n+U2 (s) It+n+112 (y)Cln+112 (р), (5.33)
5 = (1 + 2yp/s + y2/s2)1/2, | 2yp/s + f/s21 < 1.
Для получения тождеств, связывающих решения уравнения Гельмгольца, можно
использовать также модель комплексной сферы. Например, из (5.18), (5.23)
мы получаем фактически тривиальное тождество
(Z-m)lC^/2((r)_1P0)C = C l~m = 0, 1, 2...................... (5.34)
Однако для модели (5.29), (5.32) это тождество принимает нетривиальный
вид
сКв (ра,+^ а, - -м-) /"+ ,в w * "=
= W(s)Cr-+m/2(p)s~1/2. (5.35)
В работе [84] представлено много иных тождеств и теорем сложения.
Метод Вейснера в его общем виде можно также применить для вывода тождеств
для сферических волн. Рассмотрим, например, решение системы уравнений
(типа цилиндрической волны)
(Р • Р + (о2)'Р = 0, Р°'Р = Я'Р, /°'Р = ш'Р, А, теС,
V (s, Р, т) = [т (р2 - 1)1/2 (А,2 - l)1/2]m X
X 1±ш (соs (Р2 - 1)1/2 (А2 - 1)1/2). (5.36)
Выбирая решение Im, мы убеждаемся в справедливости разложения
W(s, р, t) = (coS)-1/2Z ап (А) /т+"+1/2 (cos) Сп+1/2 (р) тт,
л**" О
где функция Ч* представлена в виде суммы решений уравнения Гельмгольца
типа сферической волны. Остается только подсчитать ап{А). Поскольку
функция Ч* симметрична относительно р и А, мы имеем ал(А) = й"С^+1/2(А).
Кроме того, если А = 1, то
У(з р Т) = .^LT^P р, т; г (т+1) '
252 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Дапласа с тремя переменными
и тождество (5.27) позволяет вычислить коэффициенты ал(А,)'р что при to =
1 приводит к окончательному результату
[(р2_ 1)(Л2_ 1)]- /2еЛр/т(5[(р2- 1)(А2- 1)]'/2) =
_ Jgli г U + -1Y у Jii" +^+-" х
(2ns) ' V 2) ^ Г(2т + "+1)
X /т+п+1/2(5)СГ1/2(р)С+1/2(Д (5.37)
причем ряд в правой части этого соотношения сходится для всех р, К ЕЕ .С
(см. [ 17] ) .
Разберем еще один случай, а именно рассмотрим решения (5.14), которые
соответствуют системе параболических координат (строка 8 табл. 14).
Записывая эти решения в координатах
(5.28) и разлагая их по элементам сферического базиса, мы получаем
e*PLf)(-s(l+p))Lf)(s(l-p)) =
= Е CtnS~m~ll2Im+n+\l2 (s) Cn+l'2 (p). (5.38)
n-0
Полагая p = a/s, s -> 0, можно определить коэффициенты ал5
2m+'"T (m + yj "• ЦГ (- tt)T = ? ¦
n-0
Используя формулу преобразований для \F\ (приложение Б, разд. 3), можно
вычислить в явном виде коэффициенты при ап в левой части этого уравнения,
в результате чего получаем
_ 2т+1/2 (т + в + ¦/,) Г (т + '/.) Г (т + k + 1) Г (т + к + п + 1) v а"-
(?!)2Г (т+ 1) Г (т + n+ 1) А
/ - k, -m - п, -п I \
Хз^г ,, ". 1 • (5.39)
Ч т -f 1, - m - k - п\ ) v
При k = 0 это выражение сводится к формуле (5.27).
