Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
читатель может легко проверить сам. Таким образом, изучая системы
координат, допускающие ^-разделение переменных для уравнения Лапласа,
неизбежно приходится сталкиваться с системами координат, координатные
поверхности которых являются цик-лидами.
Легко проверить, что семейство всех циклид инвариантно относительно
действия конформной группы и что эта группа отображает ортогональные
поверхности в ортогональные поверхности. Вместо того чтобы строить
ортогональные системы координат при помощи семейств софокусных квадрик,
можно использовать для этой цели более общие семейства, которыми являются
семейства софокусных циклид. Непосредственным вычислением можно показать,
что такие семейства определяют ортогональные системы координат,
допускающие ^-разделение переменных для уравнения Лапласа. Более того,
таким способом можно получить все системы координат, допускающие
разделение переменных для уравнения Лапласа.
Поскольку системы координат, связанные конформным преобразованием,
считаются эквивалентными, для получения всех различных систем циклид,
очевидно, необходимо разбить семейства циклид (6.24) на конформные классы
эквивалентности. Среди классов эквивалентности циклид имеются такие,
которые содержат циклиды вида (6.24) с а - 0. Эти классы соответствуют
одиннадцати допускающим разделение переменных системам, перечисленным в
табл. 14. Остальные классы содержат циклиды вида (6.24) только с а Ф 0 и
приводят к новым системам, допускающим ^-разделение переменных. Подробное
описание этого построения можно найти в классической книге Бохе-ра [27].
В настоящей книге мы дадим только теоретико-групповую характеристику
систем координат, перечисленных в книге Бохера. Впервые такая
характеристика была дана в работе [25]; мы же представляем ее в виде
табл. 17.
В каждой системе координат {p., v, р} решения с /^-разделенными
переменными принимают вид Чг(х) = == $1/2(р, v, р)Л (p)5(v) С(р), причем
эти решения характеризуются уравнениями для собственных значений вида =
VF, где М, кз - константы разделения.
3.6. Уравнение Лапласа Лз'К => 0 259
Таблица 17
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ДОПУСКАЮЩИЕ Р-РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
v о о Координаты, допускающие ^-разделение
Коммутирующие операторы Si, S, переменных
+^±i(Pl+x".+ +nV.+*.>!+ --1р-7.'1<;гЛг'>Г
+ + bJ 2 + а/2, # = 1 + |^-!?^-JI/2
S2 = -J (P2+^C2)2 +
+(Р, + К,)* +
+ (Р. + Ks)*
13 Sl = 2o72 + ^±l{P2,K2}4
+ ±(р2-ус2) + *-*"[-¦*?p-f,
+ т{р1* *>} +
Ят-оп.Г Пц-д1(У-а)(р-Д) I1/2 + -L(*f_P?), ReL (a - b) (a - l) a J '
а = В = а + ф; а, Р вещественные
2
2'
S2-т{Р2. *2> +
+ ~2" (я2 - ^1) +
+ (а2+р2)У2 14 S, = У2, х = Я 1 cos ф,
4S2 = (Р3 + *з)2 - а (Р3 - УСз)5 у = 0Г1 sin Ф,
I Г (ц - а) (а - р) 11/2
L а(а-1) J
260 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
Продолжение табл. 17
Координаты, допускающие ^-разделение Коммутирующие операторы S\. $2 .
переменных
15 Sj = /3, х = 'cosqp,
4S2 = - iaD2 - (Р3 - К3)2 У = ^_1 sin <p,
+ рй-1)(р-П j1/2
16 = /3, * = зг lcos<&
2S2 = a{P3, K3} + P (/Cf - Я|)
у = 31 1 sin ф,
--'[-"Г-
!=2Re[-
i (p - д) (ц - a) ]!/2 a (a - b) J '
a = b = а + /($
17 S, = 4 x = ^_1 sh ? cos ф,
452 = (P3 + K3)2 y = (r) 1 sh | sin ф,
г = 3l~l cos i|),
52 = ch I -(- sin ф
Более конкретно, для системы 12 параметры меняются в интервалах
0<p<l<v<b<p<a
и каждый множитель в решении с разделенными переменными удовлетворяет
уравнению
[(f (ЮГ,а <1 (r))'ВЖ - (w- Т1 + т)] А (0 = О, (6.26)
/ (!) = (! - a) (S - г>) (I - 1) S, |=ц, V, Р,
которое является стандартной формой уравнения с пятью элементарными
особенностями [1]. О решениях этого'уравнения известно очень мало. Для
системы 13 параметры меняются в интервалах
- oo<p<0<p<l<v< оо.
Уравнения с разделяющимися переменными имеют вид (6.26) с я = ? = a-]_ ф.
Для системы 14 параметры меняются в интер-
3.6. Уравнение Лапласа Дз1? = 0 261
валах ц > а > 1, р < 0, 0^ф<2я, а решения уравнения Лапласа имеют вид =
9Р'гЕ\ (р)?,2(р)е'тф, где
[4 (9> т112-jL (9 т112 -jL + (j _ т^1 - я] Е, (Е) = 0,
j =1,2, Е = Ц.'р, 9{1) = {1-а){1-\)1, (6.27)
iJ3W = mW, S2W = kW.
Положив p = sn2(a, k), p = sn2(P, k), где k = a~[/2, получим x: =
$r1cos(p, y = 9L~x sin ф, z = ik9Tx sn a sn p,
91 = i (k')~l dn a dn P - / [kk')~x cn a cn P, (6.28)
W = 9tmApm-m(a, k)Apm-n2(r), k)eim,
где An(z, &) -решение уравнения Ламе
~Уг + {hn - n (n + 1) k2 sn2 (z, k)) Л = 0. (6.29)
Параметры a, p принадлежат следующим интервалам комплексной плоскости: а
е [iK', iK' + 2К], Р е [2К - iK', 2К + iK']. Для системы 15 параметры
меняются в интервалах
1<р<а<р<оо, 0^ф<2я
и уравнения с разделяющимися переменными имеют вид (6.27). Выполняя те же
подстановки с использованием эллиптических функций, что и в предыдущем
случае, получаем
х = &~1 cos у, у = 9Гх sin ф, z = i(k'9l)~x dnadnp,
91 = k (sn a snP + cn acn P/&')> (6.30)
w = 9lxl2APm-m(a, k) Am-i/2 (P, k)em,
где a, p принадлежат следующим интервалам комплексной плоскости: a е=
