Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
(6.1). Очевидно, что каждая система координат, допускающая ^-разделение
переменных, характеризуется парой коммутирующих операторов симметрии
второго порядка в обвертывающей алгебре алгебры so(4, 1). Как обычно, две
системы координат будут считаться эквивалентными, если преобразованием из
связной компоненты единицы конформной группы, расширенной за счет
дискретных операторов (6.11), одну систему можно получить из другой.
Прежде всего следует заметить, что перечисленные в табл. 14 одиннадцать
систем координат, допускающие разделение переменных для уравнения
Гельмгольца, допускают разделение переменных и для уравнения Лапласа.
Полагая "=0 в форму-
(0 Р • Р = К ¦ К = 0,
(ii) J • J = - D2,
(ш) Г*. + Г|, - Г§, = 'Д + Г*3,
(iv) {Р" К,} + {Р2, К2) + {Рз, К3) = 2 + 4D\ (6.13)
бесконечным числом параметров
256 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
лах, полученных для уравнения Гельмгольца в разд. 3.1, мы кратко опишем
вид решений W с разделенными переменными для уравнений на собственные
значения S/W = VF, ДзД1 = 0. Для системы декартовых координат 1 решения
имеют вид
ехр (ах + (Зу + \z), а2 + (З2 + у2 = 6> (6.14)
а для системы цилиндрических координат 2 - вид
'ft'*(г, Ф, z) = J±n(A,r)ехр(lz + imp), ,g jg.
iW. n = пЧь, ", Я3ЧД " = ".
Решения с разделенными переменными для системы координат параболического
цилиндра 3 записываются в виде
'ff.V (?> Л" z) = Дгц-1/2 (± сг|) Д_гц_1/2 (± сгг|) еХг,
сг = ехр(- г'я/4) (2А)1/2, (6.16)
ВДи и = >•%., " {/з, Я2} ЧД. , = 2№ ю
а для системы координат эллиптического цилиндра 4 - в виде
^)"(а, р, 2) =
(/| + <№') " = |,Л, ". Р,Ч\. " = 1ЧД
Системе сферических координат 5 соответствуют решения вида
>" (р, б, ф) = { } ЯГ (0) eimf, ihwf!m = ¦ оч
IP ) (6.18)
Для системы координат вытянутого сфероида 6 уравнения с разделяющимися
переменными принимают вид (1.20) с со ===== 0, а их решения имеют вид
Рп (ch r|) Рп (cos a) eim, (6.19)
т. е. это не что иное, как решения (1.21) при со =0. Подобным же образом
для системы координат сплющенного сфероида 7 уравнения с разделяющимися
переменными имеют вид (1.22) при со = 0, а собственные функции таковы:
Рп (- i sh г\) Рп (cos a) eim<9. (6.20)
Для системы параболических координат 8 уравнения с разделяющимися
переменными при со =0 принимают вид (1.24), а их решения - вид _
/±m(iV*S)/±m(VMVffl,P. (6.21)
( Се" (a, q) се" (Р, q) <*г,
I Se" (а, q) se" (Р, <7) eXz, q~ ' (6.17)
3.6. Уравнение Лапласа ДзЧ* "= 0 257
Для системы параболоидальных координат 9 мы имеем уравнения с
разделяющимися переменными вида (1.26) при со. = 0 и решения с
разделяющимися переменными, выраженные через функции Матье:
Се" (а, - кс/2) се" (р, - кс/2) Се" (у + in/2, - кс/2),
Se" (а, - кс/2) se" (р, - кс/2) Se" (у + in/2, - кс/2). ( '
Для системы эллипсоидальных координат 10 уравнения с разделяющимися
переменными принимают вид (1.29), или
(1.33) при со = 0. Таким образом, три уравнения с разделяющимися
переменными сводятся к уравнению Ламе, а три однозначных решения в R3
являются произведениями трех многочленов Ламе (см. [7]).
И наконец, для системы конических координат 11 уравнения с разделяющимися
переменными имеют вид (1.35) при со = 0. Однозначные решения в R3
записываются так:
{ * (a) Ekq (Р), I = 0, 1, 2, .... (6.23)
где функции Е являются многочленами Ламе; см. (3.24). По аналогии со
сферическими гармониками YТ (0, ф) такие произведения многочленов Ламе
называются эллипсоидальными гармониками (см. [125]). Вычисление м.э.с.
б., связанных со сферическими и эллипсоидальными гармониками, уже было
проведено в разд. 3.3.
Остальные системы координат, допускающие разделение переменных для
уравнения Лапласа, допускают только /?-разде-ление переменных и не
приводят к разделению переменных для уравнения Гельмгольца. Координатные
поверхности для этих систем являются ортогональными семействами
софокусных цик-лид. Циклида - это поверхность, уравнение которой имеет
вид
а (х2 + у2 + z2)2 + Р (х, у, г) = 0, (6.24)
где а - некоторая константа, а Р - многочлен второго порядка. Если а = 0,
то циклида сводится к поверхности второго порядка. Известно, что
координатные поверхности одиннадцати допускающих разделение переменных
систем, перечисленных в табл. 14, являются софокусными семействами
поверхностей второго порядка
-хтН-тгтН-тгг=1> а, = const, (6.25)
а\ + X аг + X 1 д3 + А ' v '
и их предельных случаев (см. [14, 99, 101, 125]). В частности, все эти
координаты являются предельными случаями эллипсои-
258 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
дальных координат, а координатные поверхности являются эллипсоидами,
гиперболоидами и различными предельными случаями этих поверхностей,
такими, как параболоиды, сферы и плоскости.
Известно, что при любом конформном преобразовании уравнения Лапласа
система, допускающая ^-разделение переменных, отображается в систему,
допускающую ^-разделение переменных. Однако оператор инверсии / (см.
(6.11)) отображает поверхность второго порядка в циклиду с а^=0, что
