Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Для системы тороидальных координат 17 уравнения на собственные значения
(Р° + К0) f = 2lf, в модели (7.2) дают собственные функции
(Р. о = в-" (Pflm А ( ~ " j 12ф) , п = - / - m - '/2. (7.14)
Возьмем п, т = 0, 1, 2, ... . Применяя оператор I (контуры С[, С2), мы
получаем
ОО |
- 2яГ+1е*т J е-*г~1Чт (гр) Г,/7, ( 2 ~ " j 12/р ) <*Р =
- V2 Я (-l/2)ffl (- 0я (2m)I (ch % + sin ф)ш X
X ехр [i (тф + /ф + я/4)] РТ-\п (ch 1). (7.15) Простые вычисления дают
"рК")С-?
_ (-g-p"-" (~п, m-s 2/ у
un,m (л-m)! 2"4 2m+l <* + //'
(7.16)
268 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
следовательно, ехр(а/>3)<7,т(х) =
= Z < JX~mP"S_I [16яз1а~"^1+т)! ]1/2УГ(9, ф) (7.17)
s=m
является разложением решения, соответствующего системе тороидальных
координат, по шаровым гармоникам. (Почленное интегрирование, которое мы
применили для вывода (7.13) и
(7.17), можно обосновать при помощи известной теоремы Лебега [68].)
Из приведенных примеров видно, что предложенная нами модель негильбертова
пространства позволяет получать интегральные представления и формулы
разложения решений уравнения Лапласа в системах координат, допускающих
разделение переменных для этого уравнения. (В некоторых случаях, однако,
эти модели приводят к дифференциальным операторам третьего и четвертого
порядка.) Исследование систем, связанных с уравнениями Ламе и Уиттекера-
Хилла, выполняется аналогично исследованию, проведенному в разд. 3.3.
Выбирая иные контуры в р- и ^-плоскостях, можно значительно увеличить
число рассматриваемых случаев. Кроме того, разложения решений волнового
уравнения в гильбертовом пространстве (см. разд. 4.1) можно
интерпретировать как разложения решений уравнений Лапласа, если заменить
t на iz, z > 0.
Наибольший эффект метод Вейснера дает в приложении к функциям, связанным
с системой сферических координат. Эти функции являются общими
собственными функциями коммутирующих операторов D и /°. Мы изучим эти
собственные функции с более общих позиций, используя для этого прежде
всего модель (7.2). В этой модели решения уравнений
J°g = mg, Dg = (l + y2)g, m, I sC,
кратны $ltm. Если собственные функции нормированы таким образом, что
?"W-*pV", (7.18)
то отсюда легко следует, что действие операторов (7.2) на этот базис
описывается соотношениями
/±^" = (-/±т)^±" " = <
ЭД = (/ + '/2) /ЭД = (/2 - т2) *?-",
^|" = =F(/=Fm)(/=Fm- !)*"?>,.
(7.19)
3.7. Тождества для решений уравнения Лапласа 269
Рассмотрим нашу модель в случае, когда /о е С фиксировано, причем U + '/г
не является целым числом, I = /0, /о±1, ... и m = l, I- 1, / - 2, ... .
Заметим, что соответствующее множество базисных функций инвариантно
относительно дей-
ствия алгебры so(4, 1). В частности, каждый из операторов J+, К°, К+
отображает в нуль собственную функцию gfK
В силу своей простоты рекуррентные формулы (7.19) позволяют легко
вычислить экспоненту операторов L алгебры Ли и получить локальное
действие exp(aL) конформной группы в базисе (7.18). (Действительно, при
помощи локальной теории Ли можно вычислить экспоненты всех операторов
(7.2), за исключением операторов второго порядка К- Однако экспоненты
операторов К. можно формально вычислить, применяя базис и используя
рекуррентные формулы (7.19); полученные результаты будут справедливы для
модели (6.2), предложенной для уравнения Лапласа.) Подробный анализ
матричных элементов, описывающих действие группы, дается в работе [85],
где на основе результатов этого анализа выводятся тождества для
многочленов Гегенбауэра.
Чтобы понять, как получаются эти функции, рассмотрим систему комплексных
координат {до, t, р}, комплексно эквивалентную системе комплексных
сферических координат {0, ср, р} (строка 5 табл. 14). (Поскольку нас
интересуют аналитические разложения, полезно рассмотреть решения
комплексного уравнения Лапласа.) Таким образом,
до = cos 0 = z/p, t = е*ф (1 - до2)1'2 = (х + iy)/р,
(7 901
Р = (Х2 + У2 + z2)l/2. U-U)
В этих координатах операторы (6.2) принимают вид 7° = tdt, J+ = -tdw, /~
= Г'(0 - w2) дш - 2wtdt),
D = - ('/г + Р<Эр), - iP° = wdp + p_1 (1 - до2) dw - р ~lwtdt,
- iP+ = id p - p ~xiwdw - p ~'i2dt,
- iP~ = Г1 (l - до2) dp - р_1Г'до(1 - до2)дш + P-1 (l + w2)dt,
- f/C° = рдо + P2(r)dp + p (до2 - 1) dw + p twdt,
- iK.+ = pt + p2tdp + p twdw + p t2dt,
- iK~ = pt~'(l -w2) + p2t~'(\ -w2)d p - p (l +(r)2)df +
+ рГ'до(1 - w)dw. (7.21)
Теперь будем искать функции Ч^ (до, t, р), которые удовлетворяют
рекуррентным формулам (7.19), когда действуют операторы (7.21).
(Поскольку в модели (7.19) Р • Pgm = 0, функции
270 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
автоматически становятся решениями уравнения Лапласа, соответствующими
системе 5.)
Из соотношений
/V/' - P?\l), DW{tl) = (/ + >/,) /(М* = 0
вытекает, что w\l) = Г (I + '/г) Ш)1 (р/0-*-1 с точностью до некоторой
мультипликативной константы. Из (7.19) имеем
ехр (- iaP°) ?" _ ? ЧГ^+Л)> (7-22)
л-0
а из (7.21) следует, что
ехр (- iaP°) Wm (w, t, p) = [(ш + a/p) (l + a2/p2 + 2аш/р) '/2>
