Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Ж+ и Ж- Индуцированные операторы S, Т в Ж имеют вид
SF (ku k2) = F (- ku k2), TF (k) = (f (k), f (k)). (1.19)
Таким образом, Ж+ и Ж_ инвариантны относительно оператора S, но под
действием оператора Т эти подпространства взаи-мозаменяются. Учитывая это
свойство оператора Т, мы будем в дальнейшем рассматривать только элементы
гильбертова пространства Ж+, т. е. решения с положительной энергией
ОО
Чг(х) = (4я)-1 ^ ехр(/& • x)f(k)d/i(k). (1-20)
- ОО
Скалярное произведение в Ж+ имеет вид
ОО
<и>= ^/(к)#(к)ф(к) (1.21)
- ОО
и
0F, Ф> = 0, ?> = 4/ 55 ?(х)доФ(х)dxx dx2 =
x"=t
= 4/ J 5 Ф (*) d0W (x) dx{dx2. (1.22)
*o "f
Далее, если задано формулой (1.20), мы имеем
ОО
f(k) - kan~] ^ ? (х) ехр (- ik • х)dxi dx2. (1.23)
4.1. Уравнение Ч*" - Лг1? = 0 277
Используя методы работы [66], можно показать, что подпространство Ж+
инвариантно относительно оператора I и 00
If (к) = (2л)"1 J J cos [(21 • kyv] f (1) dy (I) fe^+, I2 = E,
(1.24)
- 00
где E - единичный оператор в Ж+. Ясно, что I допускает расширение до
некоторого унитарного самосопряженного оператора в Ж+ с собственными
значениями +1.
Если {^(х)}-о.н. базис для подпространства Ж+, то (в смысле теории
обобщенных функций)
? Фа (х) (х') = А+ (х - х') = (16л2)-1 ^ ^ ехр [Ik • (х' - х)] dy (к),
(1.25)
где обобщенная функция А+ имеет вид 2лi(f - r2)~m, t > г,
Д+(х) = -2лi(t2-r2)~m, t < - г, г = (х2 + х2)112, (1.26)
2л(r2 - f)~112, -r<t<r, t - x0.
Обобщенная функция (1.26) вычисляется по аналогии с соответствующим
выражением для четырехмерного пространства-времени [49]. Следовательно,
^(х) = <Чг, Д+(х'-х)>, (1.27)
причем интегрирование выполняется по х'.
Известно, что если вычислить экспоненты представления алгебры so(3, 2) в
Ж+, индуцированного операторами (1.18), то мы получим глобальное
неприводимое унитарное представление накрывающей группы SO (3,2)-
компоненты единицы группы SO(3,2) (см. [46]). Максимальной связной
компактной подгруппой группы SO (3,2) является группа SO(3)XSO(2), где
группа S0(3) порождается операторами Г12, Г13, Г23, а группа SO (2) -
оператором Г45- Определим явное действие этой подгруппы в Ж+,
а также действие некоторых других подгрупп группы SO (3,2),
представляющих известный интерес.
Операторы М<н, Мог, МХ2 порождают некоторую подгруппу
группы S0(3, 2), изоморфную группе S0(2, 1) (см. разд. 4.3). Действие
этой подгруппы в Ж+ определяется соотношениями вида
ехр (0MI2) f (k) = f (k[ cos В - k2 sin 0, ki sin 0 + ?2 cos 0),
exp (aMol) f(k) = f (kt (a), k2), (1.28)
^ (a) = [e° + koy - е-Щ/2 (kx + k0), f e Ж+.
278 Гл. 4. Волновое уравнение
(Формулу для оператора Мо2 легко получить из формулы для TVfoj.)
Оператор Ра порождает подгруппу переносов группы SO (3,2 ):
ехр (? ааРа) f (k) = ехр (1а ¦ к) f (к). (1.29)
Унитарные операторы вида ехр(?аа/(а) вычисляются не столь просто. В
работе [59] показано, что
оо
ехр (аКо) f (s) = - i (2яаГ' ^ ^ ехр [t (s0 + 10)/а] X
- оо
X COS {а-1 [2 (s0l0 + Sxlx + s^)]1'2} f 0) *ц (1), (1.30)
оо
ехр (аКi) / (s) == (8я | а | )_1 ^ exp[/(sj + 1{)/а\ X
- оо
Хс08[^отет^],(|)'гм,) (и|)
при / е Ж+ и
ехр [а (Ко + /СО] f (s) = [4та (s0 - Si)]_1/2 X
X S МШ^]1(-ц,-!;)-¦ -)"-¦ <132>
- ОО
Оператор растяжений D порождает подгруппу
ехр (aD) f (k) = ехр (а/2) f (e°k). (1.33)
Теперь мы можем легко вычислить экспоненту компактного оператора Г45 =
(Ро - Ко)/2. Действительно, операторы Ро, D
и Ко порождают подгруппу SL(2,R) группы SO (3,2). Исполь* зуя формулы
(1.17) гл. 2, легко показать, что
ехр (29Г45) = ехр (tg (9) Р0) ехр (- Ко sin 9 cos 9) ехр (- 2D In cos 9).
Вычисляя правую часть этого соотношения, получаем ехр (29Г45) f (k) = i
(2я)~' esc (9) ^ ^ ехр [- i (k0 + /0) ctg 9] X
X cos {esc (9) [2 (k0lo + Ы\ + ^2^)]1/2} / 0) d\i (1), 9 Ф nn,
(1.34)
Подобно этому, операторы Pi, D, Ki порождают подгруппу 5/(2, R) группы SO
(3,2), и мы можем доказать соотношение ехр (29Г[2) = ехр (tg (9) Р/) ехр
(Ki sin 9 cos 9) ехр (- 2D In cos 9),
2Г12 = /(1 + Р1,
4.1. Уравнение Ч',, - A24> = 0 279
ИЛИ
ехр (20Г12) f (к) = (8л | sin 0 |) 1 ехр (ikx ctg 0) X
¦j / (1) dy (1), 0 Ф пл.
(1.35)
Операторы (1.35) совместно с операторами exp(0Mi2) (см.
(1.28)) определяют действие подгруппы SO (3).
Все известные системы координат, допускающие ^-разделение переменных для
уравнения (1.1), соответствуют двумерному (коммутирующему)
подпространству пространства симметрических операторов второго порядка в
обвертывающей алгебре алгебры so (3,2). Если коммутирующие операторы
образуют базис такого подпространства, то соответствующие решения с
разделенными переменными уравнения (1.1) характеризуются уравнениями на
собственные значения
(см. [59-61]). Системы координат считаются эквивалентными, если они
отображаются друг в друга преобразованиями, порождаемыми операторами
группы 50(3,2) и S, Т и I. Если система координат, допускающая разделение
переменных, соответствует подпространству с базисом S/ = L/, / = 1, 2,
таким, что [Li,L2]=0 и L/s so (3,2), мы называем такую систему
