Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
[iK', iK' + 2К], Р "= [К, К + 2iK'].
Для системы 16 параметры удовлетворяют условиям р > 0, р < 0, 0^ф<2я, а
уравнения с разделяющимися переменными имеют вид (6.27), причем
9>{l) = {l-a){l-b)l, a = 5 = a + /p.
Полагая p, = sn2(v>0, p = sn2(6,/), где t ={s + is')\s - s2 = (| a | _ Re
a) / (21 a |), мы получаем решения
4 = 9lxl2Apn-l,2(у, OA^-1/2(0, t)eim\ (6.31)
где ve[- iK', iK'], 0 e [2 К - iK', 2 /< + iK'].
262 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
И наконец, для системы 17 (системы тороидальных координат) собственные
функции имеют вид
Ч* = (ch I + sin ф)1/2 Е (|) ехр [/ (/ф + mqp)], tJ3W = mW, (Рз + Кз)У =
-2ИЧ',
[(sh 1Г1 jf sh S-? + (4- - P - ^)]?(D - o. (6.32)
Базис решений для этого уравнения образован присоединенными функциями
Лежандра РГ-1/2(сЬ|), Q?Li/2 (ch |).
Несложными вычислениями можно показать, что координатные поверхности во
всех этих случаях являются циклидами. Для систем 14-17 некоторые из этих
поверхностей являются циклидами вращения. Системы 12-16 довольно трудны
для анализа, поэтому при исследовании уравнения Лапласа широко
используется только система тороидальных координат 17. Система
тороидальных координат имеет много общего с системой сферических
координат. (Действительно, в случае комплексного уравнения Лапласа эти
системы переходят друг в друга под действием комплексной конформной
группы.) Для того чтобы разделить переменные в уравнении Лапласа, часто
пользуются системой биполярных координат [13], но она конформно
эквивалентна системе сферических координат. Однако эти две системы
координат не эквивалентны относительно евклидовой группы, которая
порождается Е(3) и растяжением exp(aD).
Из семнадцати систем, допускающих /^-разделение переменных для уравнения
Лапласа, девять, а именно системы 2, 5-8, 14-17, соответствуют
диагонализации оператора /3. Эти системы обладают тем свойством, что их
собственные функции принимают вид Ч* (х) = Oeim<f, U3W = m'F, где Ф -
функция от остальных двух переменных. Если подставить в уравнение Лапласа
это выражение для 'F и полученный результат разделить на eimv, то мы
получим дифференциальное уравнение для Ф, которое в цилиндрических
координатах записывается так:
(д" + Г1дг - r-*m* + да) Ф (г, г) = 0. (6.33)
Уравнение (6.33) при фиксированном m ^ 0 является обобщенным
осесимметрическим уравнением теории потенциала. Вещественная алгебра
симметрии этого уравнения изоморфна алгебре sl(2,R). Действительно, базис
этой алгебры образован операторами Кг, Рз, D (см. (6.2)), причем
соотношения коммутирования имеют вид
[D, Рз} = Р" [D, Кг] "= - Кг, [Р9, К9] =" - 2D, (6.34)
8.7. Тождества для решений уравнения Лапласа 263
а из тождества (6.13Ш) следует, что (6.33) можно записать в эквивалентной
операторной форме:
(7**1 + Ш - Р2) Ф = СЛ + т2) Ф. (6.35)
В работе [38] (см. также [62]) показано, что пространство симметрических
операторов симметрии второго порядка в обвертывающей алгебре алгебры
sl(2,R) по модулю подпространства, порожденного оператором Казимира 1%Р\
+ '/гК! - D2, в результате действия группы симметрии SL(2,R) разбивается
на девять типов орбит. Девять перечисленных выше систем координат и
являются как раз теми системами координат, которые допускают разделение
переменных в уравнении (6.33), и легко проверить, что эти системы взаимно
однозначно соответствуют девяти типам орбит; т. е. между списком
операторов 5г, в котором /3, S2 определяют каждую систему, и списком
представителей этих типов орбит имеется полное соответствие.
3.7. Тождества для решений
с разделенными переменными уравнения Лапласа
Подобрать модель гильбертова пространства для решений уравнения Лапласа,
такую, чтобы действие конформной группы задавалось унитарным
представлением, невозможно. В самом деле, если бы такая модель
существовала, то операторы импульса iPj, / = 1, 2, 3, были бы
самосопряженными операторами в этом гильбертовом пространстве. Однако из
тождества Р\ + Р\ + Р\ - б и спектральной теоремы для самосопряженных
операторов следует, что Р/ = 0, а это приводит к противоречию.
Тем не менее, применяя метод Вейснера, можно получить соотношения,
связывающие решения с разделенными переменными уравнения Лапласа, и,
поступая так же, как в разд. 3.5, построить модели негильбертова
пространства для этого уравнения. Рассмотрим выражение
?(*, у, 2)= J dp 5лг1А(р,ох
с, с,
X ехр [~- (/ + Г1) + -^ (/ - Г1) - Pz] = / (И), (7.1)
где h - аналитическая функция в некоторой области из С X С, содержащей
контуры интегрирования Cj X С2, причем I(h) абсолютно сходится и под
знаком интеграла допускается произ*
264 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
вольное дифференцирование по переменным х, у, г. Легко проверить, что для
каждой такой функции h = 1(h) является решением уравнения Лапласа (6.1).
Кроме того, интегрируя по частям, можно показать, что операторы Р/, //,
Kj, D (см. (6.2)), действующие на пространство решений уравнения (6.1),
