Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
/ (1 + a2/p2 + 2аш/р)-1/2, p (1 + a2/p2 + 2аш/р)1/2]. (7.23)
Подставляя (7.23) в (7.22), полагая m = l и используя явные формулы для
Wi1*, мы получаем простую производящую функцию для собственных функций
\Р(/+п). Сравнивая полученное выражение с (5.24), находим
<(ш, U Р) = (/-т)!Г(т + >/,)Сfl+i'2(ш)(2t)m(р/0"'~!. (7.24)
Непосредственной проверкой можно показать, что эти функции удовлетворяют
всем рекуррентным формулам (7.19). (Эти формулы в точности совпадают с
известными рекуррентными формулами, которым удовлетворяют многочлены
Гегенбауэра.) Подставляя (7.23) в (7.22), мы получаем тождество общего
вида для многочленов Гегенбауэра:
(1 - 2ш + a2)-v_ft/2Cft [(ш - а)(1 - 2аш +а2)-1/2] =
1=1 а" (k ^ П )I(r)2 -2а(r)1<1. (7.25)
которое при k = 0 сводится к (5.24).
Подобным образом формула
ехр (- аР+) W ч'"+""
дает тождество
(I-a)-""["(l -")-"]= ?211^+21сг+.(ш), X.
п"° (7.26)
3.7. Тождества для решений уравнения Лапласа 271
а рассматривая ехр (аК°)Ч'т) мы получаем (1 + 2 адо + a2f2 Cl [(до + а)
(1 + 2а до + а2)~1/2] =
-Е"' (2v+* ~1)^ t7-27"
и т. д. Более полный перечень таких разложений можно найти в работе
[85].)
Другой тип тождеств, которые можно получить из (7.19), тесно связан с
максвелловской теорией поля. Очевидное тождество (P°)ng\l) = (-l)"g)/+n),
которое следует из (7.19), дает
nlp-v-n-1/2Cn (до) = (wdp + р-1 (l - до2) dw - р_1до (v - 1/2))np_v_1/2"
" = 0, 1, 2.....
Более общо, применяя метод Вейснера, можно получить разложения вида
Т (g) W (до, t, р) = ? а"-1С" № Г { Р-/_ 1} <7-28>
m, I ч Р J
даже в том случае, когда g отграничено от единицы конформной группы или
когда W является решением уравнения Лапласа не на сферической орбите.
Рассмотрим случай, связанный с цилиндрической орбитой. Решение уравнений
Р . pip = Q, _ iP°W =, Ш, J°W = mW, иДе С
имеет вид
4(w, t, 9) = [lj(k(w2- 1 )1/2)]m eXwpIm [Яр (до2 - 1 )1/2],
где Im(z) -модифицированная функция Бесселя. В этом случае разложения
(7.28) принимают вид
ЧЧш, /, р)=?ап(Я)рт+п"+1/2(ш).
Для того чтобы вычислить константы ап(Я), положим в обеих частях этого
уравнения ш = 1 и получим окончательный результат
Г (т + 1) [р(до2 - 1 )112]~те"т1т[р(до2- I)1(r)] =
оо
Г (2т + 1) y^.m+l/2 / \ п пп\
e L Г (2т + я + 1) Сп Р • (7-29>
п=0
Любая аналитическая функция Чг, получающаяся в результате разделения
переменных в комплексном уравнении Лапласа, Приводит к разложению (7.28),
Такие функции могут быть по-
272 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
лучены аналитическим продолжением решений с разделенными переменными
вещественного уравнения Лапласа и продолжением решений с разделенными
переменными волнового уравнения
(дн - Д2)Ф(х, у, 0 = 0,
которое будет рассматриваться в следующей главе. (Полагается t - iz.)
Таким способом можно получить огромное количество производящих функций
для многочленов Гегенбауэра.
В общем случае в соотношение (7.28) входит двойная сумма, но если T(g)1F
является собственной функцией оператора /°, то пг фиксировано и
суммирование ведется только по /. Эти функции являются решениями
уравнения (6.33), и для того, чтобы их получить, нужно считать Ч*1 одним
из решений уравнения (6.33) с разделенными переменными, a g - элементом
комплексной группы SL(2, С), порождаемой операторами Р°, К0 и D. В статье
[41] Висванатан дал подробный вывод производящих функций (за исключением
довольно сложных систем функций Ламе), получаемых указанным способом.
Когда T(^)4f является собственной функцией оператора D, сумма в
соотношении (7.28) тоже сводится к однократной; в этом случае фиксируется
I и суммирование ведется только по т. Системы координат, в которых D
является диагональным оператором, будут рассмотрены в разд. 4.3.
И наконец, следует заметить, что при помощи конформной симметрии
комплексного уравнения Лапласа можно получить формулы квадратичного
преобразования для гипергеометриче-ской функции 2Fi; см. [94].
Упражнения
1. Показать, что сопряженное действие группы ?(3) разбивает алгебру 8 (3)
на три орбиты.
2. Доказать, что в системе координат параболического цилиндра х = = (?2 -
г)2)/2, у = |г|, 2 = 2 уравнение Гельмгольца имеет решения с разделенными
переменными и что соответствующими определяющими операторами являются
{/3, Рг} и Р%
3. Используя выражения (4.10), (4.11), вычислить билинейные разложения
функции sin(<?>R)I<?>R по решениям с разделенными переменными уравнения
Гельмгольца в сферических координатах и в координатах вытянутого
сфероида.
4. Вычислить алгебру симметрия уравнения Лапласа Дзф = 0.
5. Показать, что в результате замены переменных х = и, у - iz = s, у + iz
= 2t и подстановки V = eXs(D (t, и) комплексное уравнение Лапласа (д** +
дуу + dzz)xy = 0 сводится к уравнению теплопроводности для функции Ф,
Глава 4
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
4Д. Уравнение Wtt - Д2'Р = 0
В этой главе мы рассмотрим вещественное волновое уравнение (доо - дп -
д22) Ч (х) = 0, х = (х0, хь х2). (1.1)
Известно, что алгебра симметрий уравнения (1.1) десятимерна и имеет:
